Dirichlet-L-functie

In de wiskunde is een Dirichlet-L-reeks een functie van de vorm

$L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}.$

Hier is χ een Dirichlet-karakter en s een complexe variabele met een reëel deel groter dan 1. Door analytische voortzetting kan deze functie worden uitgebreid tot een meromorfe functie op het gehele complexe vlak. De zo ontstane Dirichlet-L-functie wordt aangegeven door L(s, χ).

Deze functies zijn vernoemd naar Johann Dirichlet, die de Dirichlet-L-fucntie in 1837 introduceerde om de ook zijn naam dragende stelling over priemgetallen in rekenkundige rijen te bewijzen. In het verloop van dit bewijs laat Dirichlet zien dat L(s, χ) niet-nul is op s = 1. Als χ principaal is, dan heeft de overeenkomstige Dirichlet-L-functie een enkelvoudige pool op s = 1.

Referenties

• (en) H. Davenport Multiplicative Number Theory (Multiplicatieve getaltheorie), Springer, 2000
• (de) Dirichlet, P. G. L., Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält, Abhand. Ak. Wiss. Berlin, vol 48, 1837