Dirichlet-L-functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde is een Dirichlet-L-reeks een functie van de vorm

L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}.

Hier is χ een Dirichlet-karakter en s een complexe variabele met een reëel deel groter dan 1. Door analytische voortzetting kan deze functie worden uitgebreid tot een meromorfe functie op het gehele complexe vlak. De zo ontstane Ddirichlet-L-functie wordt aangegeven door L(s, χ).

Deze functies zijn vernoemd naar Johann Dirichlet, die de Dirichlet-L-functie in 1837 introduceerde om de ook zijn naam dragende stelling over priemgetallen in rekenkundige rijen te bewijzen. In het verloop van dit bewijs laat Dirichlet zien dat L(s, χ) niet-nul is op s = 1. Als χ principaal is, dan heeft de overeenkomstige Dirichlet-L-functie een enkelvoudige pool op s = 1.

Nulpunten van de Dirichlet-L-functies[bewerken]

Als χ een primitieve karakter met χ (−1) = 1 is, dan liggen de enige nulpunten van L(s,χ) met Re (s) < 0 op de negatieve even gehele getallen.
Als χ een primitieve karakter met χ (−1) = −1 is, dan liggen de enige nulpunten van L(s,χ) met Re (s) < op de negatieve oneven gehele getallen.

"Up to" het mogelijke bestaan van een Siegel-nulpunt, is van nulpuntvrije regio's inclusief en voorbij de lijn Re(s) = 1, gelijkaardig aan die van de Riemann-zèta-functie, bekend dat zij bestaan voor alle Dirichlet-L-functies: bijvoorbeeld daar waar χ een niet-reëel karakter van modulus q heeft, geldt dat

 \beta < 1 - \frac{c}{(2+|\gamma|) \log q} \

waar β + iγ een niet-reëel nulpunt is.[1]

Net zoals men van de Riemann-zèta-functie vermoed dat deze gehoorzaamt aan de Riemann-hypothese, zo wordt vermoed dat de Dirichlet-L-functies gehoorzamen aan de veralgemeende Riemann-hypothese.

Euler-product[bewerken]

Aangezien een Dirichlet-karakter χ volledig multiplicatief is, kan haar L-functie ook worden geschreven als een Euler-product in het halfvlak van absolute convergentie:

L(s,\chi)=\prod_p\left(1-\chi(p)p^{-s}\right)^{-1}\text{ for }\text{Re}(s) > 1,

waar het product over alle priemgetalen is.[2]

Functionaalvergelijking[bewerken]

Laten wij aannemen dat χ een primitief karakter is met betrekking tot de modulus k. Onder de definitie

\Lambda(s,\chi) = \left(\frac{\pi}{k}\right)^{-(s+a)/2}
\Gamma\left(\frac{s+a}{2}\right) L(s,\chi),

waar Γ de gammafunctie aangeeft en het symbool a wordt gegeven door

a=\begin{cases}0;&\mbox{if }\chi(-1)=1, \\ 1;&\mbox{if }\chi(-1)=-1,\end{cases}

heeft men dan de functionaalvergelijking

\Lambda(1-s,\overline{\chi})=\frac{i^ak^{1/2}}{\tau(\chi)}\Lambda(s,\chi).

Hier schrijven wij τ(χ) voor de Gauss-som

\sum_{n=1}^k\chi(n)\exp(2\pi in/k).

Mark op dat |τ(χ)| = k1/2.

Relatie met de Hurwitz-zèta-functie[bewerken]

De Dirichlet L-functies kunnen worden geschreven als een lineaire combinatie van de Hurwitz-zèta-functie op rationale waarden. Na vastzetten van een geheel getal k ≥ 1, zijn de Dirichlet-L-functies voor karakter modulo k lineaire combinaties, met constante coëfficiënten, van de ζ(s,q), waar q = m/k en m = 1, 2, ..., k. Dit betekent dat de Hurwitz-zèta-functie voor rationele q analytische eigenschappen heeft, die nauw verwant zijn aan de Dirichlet L-functies. Laat χ specifiek een karakter modulo k zijn. Dan kunnen we haar Dirichlet-L-functie schrijven als

L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac {\chi(n)}{n^s}
= \frac {1}{k^s} \sum_{m=1}^k \chi(m)\; \zeta \left(s,\frac{m}{k}\right).

In het bijzonder levert de Dirichlet-L-functie van het triviale karakter (wat impliceert dat de modulus k priem is) de Riemann-zèta-functie op:

\zeta(s) = \frac {1}{k^s} \sum_{m=1}^k \zeta \left(s,\frac{m}{k}\right).

Voetnoten[bewerken]

  1. Montgomery, Hugh L, Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis, Regional Conference Series in Mathematics, vol. 84, Providence, RI, American Mathematical Society, 1994, ISBN 0-8218-0737-4, blz. 163.
  2. Apostol, 1976, stelling 11.17

Referenties[bewerken]

  • Apostol, T.M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3 (en)
  • Apostol, T.M. (2010), Dirichlet L-function in Olver, Frank W.J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255 (en)
  • Davenport, H., Multiplicative Number Theory, Springer, 2000, ISBN 0-387-95097-4 (en)
  • Dirichlet, P. G. L., Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält, Abhand. Ak. Wiss. Berlin, vol 48, 1837 (de)
  • Hazewinkel, Michiel, red. (2001), Dirichlet-L-function, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 (en)

Bronvermelding[bewerken]