Dirichletreeks

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een dirichletreeks, genoemd naar de Duitse wiskundige Johann Dirichlet is in de wiskunde een reeks van de vorm:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s},

met s en de coëfficiënten (an) complexe getallen. De reeks wordt, bij gegeven coëfficiënten, opgevat als een complexe functie van het argument s.

Dirichletreeksen vinden toepassing in de analytische getaltheorie om getaltheoretische problemen met behulp van methoden uit de functietheorie te onderzoeken. Een bekend voorbeeld is de riemann-zeta-functie.

Convergentie[bewerken]

Vatten we bij gegeven a_n de dirichletreeks op als de functie:

 f(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s},

dan heeft dit alleen betekenis voor waarden van s waar de reeks convergent is.

Als de rij \left \{a_n \right \}_{n \in \mathrm{N}} begrensd is, dan is de reeks absoluut convergent op het open halfvlak waarin \Re(s) > 1. De functie f is op dat halfvlak dan een analytische functie.

De riemann-zeta-functie[bewerken]

Als alle a_n=1\, verkrijgen we de riemann-zeta-functie

\zeta(s) =\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^s},

die voor s=1\, de harmonische reeks beschrijft en voor andere waarden van s\, de hyperharmonische reeksen.