Discrete-time Fourier transform

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De discrete-time Fourier transform (of DTFT) maakt deel uit van de familie van de fouriertransformaties. Hij transformeert een functie f(n) van een discrete-tijdsvariabele n waarbij n \in \mathbb{Z}. De DTFT produceert een continu, periodiek spectrum F(e^{i \omega}).

Definitie[bewerken]

De DTFT van f(n) wordt gegeven door:

F(e^{i \omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \,e^{-in\omega}

We kunnen f(n) terugkrijgen via de inverse DTFT.

f(n) =\frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^{\pi} F(e^{i \omega})\,e^{i n \omega} \, d \omega

Periodiciteit van de DTFT[bewerken]

De DTFT is  2 \pi periodiek, namelijk

F(e^{i \omega}) \,\!= F(e^{i (\omega + 2\pi)})

zoals hieronder wordt bewezen.

F(e^{i (\omega + 2 \pi)}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \,e^{-i n (\omega + 2\pi)}

= \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \,e^{-i n \omega} e^{-i n 2\pi}

Omdat e^{i 2 \pi} = \,\!1 (zie complex getal), is het bovenstaande gelijk aan

 \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \,e^{-i n \omega} 1^{-n}

= \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \,e^{-i n \omega}

= F(e^{i \omega})

waarmee periodiciteit aangetoond is. We zien derhalve dat discreetheid in het ene domein leidt tot periodiciteit in het geconjungeerde domein.

Verschil tussen de DTFT en de DFT[bewerken]

De DTFT verschilt van de discrete fouriertransformatie (DFT) in zoverre dat de laatste een periodieke discrete-tijdfunctie f(n) transformeert. Voor een tijdbegrensd signaal met tijdsduur N gegeven door f(n) : n \in \{0, 1, \ldots, N-1 \}, bemonstert in feite de DFT met uniforme tussen-intervallen de DTFT op de punten k \in \{ 0, 1, \ldots, N-1 \} in het frequentiedomein.

F(k) =  \left. F(e^{i \omega}) \, \right|_{\omega = 2 \pi \frac{k}{N}}

= \left. \sum_{n=0}^{N-1} f(n) \,e^{-i \omega n} \, \right|_{\omega = 2 \pi \frac{k}{N}} =

\sum_{n=0}^{N-1} f(n) \,e^{-i 2 \pi \frac{k n}{N}}

Relatie met de z-transformatie[bewerken]

De DTFT is een speciaal geval van de z-transformatie. De z-transformatie is als volgt gedefinieerd:

F(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \,z^{-n}

Als we de z-getransformeerde berekenen voor z = e^{i \omega}, dan verschijnt de DTFT. (Daarom wordt voor de DTFT de notatie F(e^{i \omega}) geprefereerd boven de notatie F(\omega).)

\left. F(z) \right|_{z = e^{i \omega}} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \,e^{-in\omega} = F(e^{i \omega})

Merk op dat berekening van de DTFT voor z = e^{i \omega} equivalent is met het berekenen van de z-getransformeerde op de eenheidscirkel in het complexe vlak.