Disjunct

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Dit artikel gaat over de term disjunct in de verzamelingenleer. Een disjunct is ook een onderdeel van een logische disjunctie.

Twee verzamelingen worden disjunct genoemd wanneer zij geen gemeenschappelijke elementen hebben. In dat geval is hun doorsnede de lege verzameling. De twee verzamelingen {1, 2, 3} en {4, 5, 6} zijn bijvoorbeeld disjuncte verzamelingen.

[bewerken] Definitie

Formeel gezien zijn twee verzamelingen A and B disjunct als geen enkel element, zowel voorkomt in verzameling A als in verzameling B

.

In dat geval is de doorsnede van de twee verzamelingen A en B leeg

Deze definitie is uitbreidbaar naar elke collectie van verzamelingen. Een collectie van verzamelingen is paarsgewijs disjunct of wederzijds disjunct als enige twee onderscheiden verzamelingen in de collectie disjunct zijn.

Formeel uitgedrukt, laat I een indexverzameling zijn, en voor elke i in I, laat A_i een verzameling zijn. Dan is de familie van verzamelingen {A_i : i ∈ I} paarsgewijs disjunct voor enige i en j in I met i ≠ j

De collectie van verzamelingen { {1}, {2}, {3}, ... } is bijvoorbeeld paarsgewijs disjunct. Als {A_i} een paarsgewijze disjuncte collectie is die tenminste twee verzamelingen bevat, dan is de doorsnede duidelijk leeg:

Het tegensgestelde is echter niet waar: de doorsnede van de collectie {{1, 2}, {2, 3}, {3, 1}} is leeg, maar de collectie is niet paarsgewijs disjunct - er komen in deze collectie geen twee disjuncte verzamelingen voor.

Een partitie van een verzameling X is enige collectie van niet-lege deelverzamelingen {A_i : i ∈ I} van X zodat {A_i} paarsgewijs disjunct zijn en geldt dat