Distributiviteit

In de wiskunde en in het bijzonder in de abstracte algebra is distributiviteit een eigenschap van binaire operaties, die de distributieve wet uit de elementaire algebra generaliseert. Bijvoorbeeld:

2 • (1 + 3) = (2 • 1) + (2 • 3).

Aan de linkerkant van de bovenstaande vergelijking, vermenigvuldigt de 2 de som van 1 en 3, terwijl aan de rechterkant de 2 de 1 en de 3 elk afzonderlijk vermenigvuldigt en daarna pas de tussenresultaten bij elkaar optelt.

Omdat beide kanten van de vergelijking hetzelfde antwoord (8) geven, zeggen wij dat de vermenigvuldiging met 2 distribueert over optellen van 1 en 3. Aangezien we, in plaats van 2, 1, en 3, ook elk ander reëel getal kunnen invullen, en dan nog steeds een gelijkheid hebben, zeggen wij dat vermenigvuldiging van de reële getallen distributief is over optelling van de reële getallen.

Een binaire operatie * over een verzameling S wordt distributief ten opzichte van een binaire operatie + genoemd, indien volgende eigenschap geldt:

Definitie

Gegeven een verzameling S en 2 binaire operaties • en + op S, zeggen we dat de operatie •

• links-distributief is over + als, gegeven enige elementen x, y, en z van S,

x • (y + z) = (x • y) + (x • z);

• rechts-distributief is over + als, gegeven enige elementen x, y, en z van S:

(y + z) • x = (y • x) + (z • x);

• distributief is over + als de operatie zowel links- als rechts-distributief is.

Merk of dat wanneer • commutatief is, dat dan de drie bovenstaande condities logische equivalent zijn.

Voorbeelden

• Vermenigvuldiging van getallen is distributief over de optelling van getallen voor een brede klasse van de verschillende soorten getallen, variërend van natuurlijke getallen tot de complexe getallen en kardinaalgetallen ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{H}$)
• Vermenigvuldiging van ordinale getallen is in contrast daarmee alleen links-distributief en niet rechts-distributief.
• Matrixvermenigvuldiging is distributief over matrixoptelling, ook al is matrixvermenigvuldiging niet commutatief.
• De vereniging van verzamelingen is distributief over de doorsnede, en de doorsnede is distributief over de vereniging. De doorsnede is dus distributief over het symmetrische verschil.
• Logische disjunctie ( "of") is distributief over logische conjunctie ( "en"), en de conjunctie is distributief over disjunctie. Conjunctie is dus distributief over exclusieve disjunctie ( "xor").
• Voor reële getallen (of voor elke totaal geordende verzameling) is de maximale operatie distributief over de minimale operatie, en omgekeerd

max(a,min(b,c)) = min(max(a,b),max(a,c)) en min(a,max(b,c)) = max(min(a,b),min(a,c)).

• Voor gehele getallen is de grootste gemene deler distributief over het kleinste gemene veelvoud, en omgekeerd

ggd(a,kgv(b,c)) = kgv(ggd(a,b),ggd(a,c)) en kgv(a,ggd(b,c)) = ggd(kgv(a,b),kgv(a,c)).

• Voor de reële getallen distribueert optelling over de maximale operatie, en dus ook over de minimale operatie

a + max(b,c) = max(a+b,a+c) en a + min(b,c) = min(a+b,a+c).

Niet helemaal toevallig zijn dit alle voorbeelden van specifieke Booleaanse algebra's, een algebraïsche structuur waar distributiviteit een belangrijke eigenschap is.

Zie ook

• Commutativiteit
• Associativiteit