Driehoek van Pascal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Animatie van de opbouw van een driehoek van Pascal. Elke coëfficiënt in de driehoek van Pascal is de som van de twee bovenliggende coëfficiënten

De driehoek van Pascal [1] is een rangschikking van de binomiaalcoëfficiënten {n \choose k} in rijen voor toenemende n beginnend met n=0 en op elke rij de n+1 binomiaalcoëfficiënten voor de mogelijke waarden van k. In de driehoek komt de eigenschap tot uitdrukking dat elke binomiaalcoëfficiënt de som is van de twee bovenliggende. De driehoek is genoemd naar de Franse wiskundige Blaise Pascal (1623 - 1662), die de eerste was die er mee rekende.

De getallen in de driehoek geven het aantal wegen aan vanaf de top naar de plaats van zo'n getal, waarmee ook de besproken eigenschap verklaard is. Omdat er steeds 2 keuzen zijn om de weg naar onder te vervolgen is de som van de getallen op een rij de overeenkomstige macht van 2.

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

De driehoek is combinatorisch van aard en werd door Pascal toegepast in het onderstaande probleem in de kansrekening bij het dobbelen.

Overigens ordende Pascal de getallen van de driehoek in een rechthoekig schema:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 3 6 10 15 21 28 36 45
1 4 10 20 35 56 84 120
1 5 15 35 70 126 210
1 6 21 56 126 252
1 7 28 84 210
1 8 36 120
1 9 45
1 10
1

en noemde het getal op het kruispunt van rij i en kolom j: c_{ij}, zodat

{n \choose k}=c_{n-k,k}

en de genoemde eigenschap luidt:

c_{ij}=c_{i-1,j}+c_{i,j-1}\!

Problème des partis[bewerken]

Pascal ontwikkelde de naar hem genoemde getallendriehoek bij het oplossen van het zgn. problème des partis, het probleem van de afgebroken partij (spel). Dit probleem wordt al genoemd in een Italiaans geschrift uit 1380. Het luidt als volgt:

Twee partijen spelen een balspel. Beide partijen hebben gelijke kans te winnen. De partij die als eerste 6 keer heeft gewonnen, krijgt de pot van 60 dukaten. Om een of andere reden moet het spel afgebroken worden bij een stand van 5-3. Hoe moet de pot nu verdeeld worden?

De Italiaanse wiskundige Luca Pacioli gaf in 1494 als oplossing dat de pot verdeeld moest worden in de verhouding 5:3, dus naar de stand bij afbreken. Een collega wiskundige, Cardano, meende echter dat men rekening moest houden met de winstkansen als verder zou worden gespeeld. Men kon in die tijd geen goede oplossing bedenken.

Pascal kreeg het probleem, naast andere, voorgelegd door de Franse edelman Chevalier de Méré:

Twee spelers dobbelen om een inzet, zo dat wie het eerst drie partijen wint de pot krijgt. Het probleem was hoe de pot verdeeld moest worden wanneer de wedstrijd voortijdig werd afgebroken.

Pascal komt stap voor stap tot de algemene formulering voor elk spel, waarin bij afbreken de ene speler nog m keer moet winnen en de andere speler nog n keer om de pot te krijgen.

Zijn oplossing was dat de pot verdeeld moet worden in de verhouding N : M van de winstkansen van de beide spelers bij de afbreekstand, waarin:

N=\sum_{i=0}^{n-1}{m+n-1 \choose i}, de som van de eerste n getallen op de (m+n-1)-de rij (geteld vanaf rij 0) in de driehoek

en

M=\sum_{i=n}^{m+n-1}{m+n-1 \choose i}, de som van de laatste m getallen op die rij.

Pascal noemde zijn ontdekking de géometrie du hasard (meetkunde van het toeval). De getallendriehoek als figuur was al eeuwen tevoren bekend bij onder meer enkele Chinese wiskundigen, maar de toepassing ervan in de kansrekening was Pascals ontdekking.

Eigenschappen[bewerken]

De driehoek van Pascal heeft vele eigenschappen:

  • De som van rij n is gelijk aan 2^n
  • De getallen op een rij vormen de coëfficiënten van de uitgeschreven uitdrukkingen voor (x+y)^n
  • Als het element k=1 uit een rij een priemgetal is, dan zijn alle nummers uit die rij (behalve de 1 aan het begin en eind) deelbaar door dit getal. Voorbeeld: 1 7 21 35 35 21 7 1
  • Door de oneven getallen weer te geven als een zwarte punt ontstaat er een figuur met een fractale structuur, de zogenaamde Sierpiński-driehoek.
  • Het aantal elementen in de onderstaande driehoeken wordt gegeven door de elementen (n,2) van de driehoek
*
* **
* ** ***
* ** *** ****
* ** *** **** *****
* ** *** **** ***** ******
1 3 6 10 15 21
  • Dit is gelijk aan de waarden voor
N(n) = \sum\limits_{k=1}^n k
  • Optellen van twee opeenvolgende getallen in bovenstaande reeks (1 3 6 10 15 21 ...) geeft het aantal elementen in een vierkant: 1 4 9 16 25 etc.
  • Optellen van de getallen op de 'diagonalen', geeft de getallen uit de rij van Fibonacci.

Zie ook[bewerken]

Referenties[bewerken]

  1. zie ook: rij A007318 in OEIS