Driehoeksgetal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De eerste zes driehoeksgetallen

Een driehoeksgetal is een type veelhoeksgetal. Een driehoeksgetal kan grafisch worden weergegeven door het aantal stippen in een gelijkzijdige driehoek, die gelijkmatig met stippen wordt gevuld. Aangezien bijvoorbeeld drie stippen in de vorm van een gelijkzijdige driehoek kunnen worden gelegd, is drie dus een driehoeksgetal.

Het n-de driehoeksgetal is het aantal stippen in een driehoek met n stippen aan één zijde. Drie is dus het tweede driehoeksgetal. De eerste zes driehoeksgetallen zijn de getallen 1, 3, 6, 10, 15, 21. In het plaatje worden deze zes weergegeven.

Definitie[bewerken]

Het n-de driehoeksgetal T_n is de som van de getallen 1 tot en met n. In formule:

T_n= 1+2+3+ \cdots +n = \sum_{i=1}^n i .

Met behulp van de somformule van Gauss volgt:

T_n = \tfrac 12 n(n+1).

Dit is hetzelfde als

T_n = {n+1 \choose 2}

(dit is de binomiaalcoëfficiënt van n+1 over 2).

Eigenschappen[bewerken]

De som van alle reciproque driehoeksgetallen is

 \!\ \sum_{n=1}^{\infty}{1 \over {{n^2 + n} \over 2}} = 2\sum_{n=1}^{\infty}{1 \over {n^2 + n}} = 2 .

Dit volgt uit de telescoopreeks

 \!\ \sum_{n=1}^{\infty}{1 \over {n(n+1)}} = 1 .


  • Ieder natuurlijk getal, behalve 0, is te schrijven als som van ten hoogste drie driehoeksgetallen. Dit is bewezen door Gauss (zie bijvoorbeeld Beukers,1999) in 1796. Deze eigenschap is een bijzonder geval van de veelhoeksgetalstelling van Fermat.
  • Een getal N is een driehoeksgetal dan en slechts dan als 8N+1 een kwadraat is.
  • Het n-de driehoeksgetal is gelijk aan het aantal kanten in een complete graaf met n knopen.
  • De som van twee opeenvolgende driehoeksgetallen is een kwadraat, bijvoorbeeld T4 + T5 = 10 + 15 = 25 = 52.
  • De som van de eerste n driehoeksgetallen is gelijk aan het n-de tetraëdergetal.

Zie ook[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties