Driehoekskwadraatgetal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een driehoekskwadraatgetal is een getal dat zowel een driehoeksgetal als een kwadraatgetal is. Er zijn oneindig veel driehoekskwadraatgetallen. De eerste vijf zijn 1, 36, 1225, 41616 en 1413721.[1]

Definitie[bewerken]

Gegeven de definities van driehoeksgetal en het kwadraatgetal is het k-de driehoekskwadraatgetal Nk te schrijven als

N_k = \frac{t_k(t_k+1)}{2} = s_k^2,

waar tk de zijde van de overeenkomstige driehoek is, en sk de zijde van het overeenkomstige vierkant.

Expliciete oplossing[bewerken]

Het rechterdeel van bovenstaande vergelijking is een diophantische vergelijking, omdat tk en sk gehele getallen zijn. Deze kan opgelost worden door hem om te schrijven naar de vergelijking van Pell.

Leonhard Euler heeft in 1778 de volgende expliciete formule afgeleid[2]

N_k = \left( \frac{(3 + 2\sqrt{2})^k - (3 - 2\sqrt{2})^k}{4\sqrt{2}} \right)^2.

Een simpelere, gelijkwaardige uitdrukking is

N_k = {1 \over 32} \left( ( 1 + \sqrt{2} )^{2k} - ( 1 - \sqrt{2} )^{2k} \right)^2.

Zie ook[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties
  1. Wiswijzer, 16 apr 2011
  2. , History of the Theory of Numbers, American Mathematical Society, Providence [1920], 1999, p. 16 ISBN 9780821819357. Geraadpleegd op 2011-04-16.