Driehoekskwadraatgetal

Een driehoekskwadraatgetal is een getal dat zowel een driehoeksgetal als een kwadraatgetal is. Er zijn oneindig veel driehoekskwadraatgetallen. De eerste zes zijn 0, 1, 36, 1.225, 41.616 en 1.413.721.

Het k-de driehoekskwadraatgetal n_k is te schrijven als

$n_{k}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2}}=s_{k}^{2}$

met t_k de zijde van de driehoek en s_k de zijde van het vierkant die bij het k-de driehoekskwadraatgetal horen.

Het rechterdeel van bovenstaande vergelijking is een diofantische vergelijking, omdat t_k en s_k gehele getallen zijn. Deze vergelijking kan naar een vergelijking van Pell worden omgeschreven.

Leonhard Euler heeft in 1778 de volgende formule afgeleid:

$n_{k}=\left({\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{4{\sqrt {2}}}}\right)^{2}$

Deze uitdrukking is gelijk aan

$n_{k}={1 \over 32}\left((3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}\right)^{2}={1 \over 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{2k}-(1-{\sqrt {2}})^{2k}\right)^{2}$

voetnoten

websites

• MathWorld. Square Triangular Number.