Drukgradiënt

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De drukgradiënt is de grootheid die in de mechanica gebruikt wordt om de verandering van de druk in een medium weer te geven. De drukgradiënt is een vectorgrootheid waarvan de lengte gewoonlijk wordt uitgedrukt in de SI-eenheid pascal per meter. Drukgradiënten spelen een belangrijke rol in theorieën uit de aerodynamica en hydrodynamica die toegepast worden in uiteenlopende natuurwetenschappelijke en technische vakgebieden, variërend van de luchtvaarttechniek en de geofysica tot de astronomie en de biofysica.

Coördinatenstelsels[bewerken]

Coördinatenstelsels op het oppervlak van een bol.
Nuvola single chevron right.svg Om het onderstaande te kunnen begrijpen is enige kennis nodig van afgeleiden en gradiënten.

Als de druk P een continue en differentieerbare functie is van de cartesische x, y en z-coördinaten:

P=P(x,y,z)

dan wordt de drukgradiënt gegeven door:


\nabla P = \begin{pmatrix}
{\frac{\partial P}{\partial x}},  
{\frac{\partial P}{\partial y}}, 
{\frac{\partial P}{\partial z}}
\end{pmatrix}

De uitdrukkingen voor drukgradiënten worden soms ook ten opzichte van poolcoördinaten, bolcoördinaten of andere coördinatenstelsels gedefiniëerd als dat voor de beschrijving van een bepaald probleem handiger is.

In veel gevallen, zoals in de sterrenkunde, worden drukgradiënten in bolcoördinaten uitgedrukt:

\nabla P={\partial P \over \partial r}\boldsymbol{\hat r}
  + {1 \over r}{\partial P \over \partial \theta}\boldsymbol{\hat \theta}
  + {1 \over r\sin\theta}{\partial P \over \partial \varphi}\boldsymbol{\hat \varphi},

In de meteorologie wordt meestal met roterende assenstelsels gewerkt die meedraaien met de rotatie van de Aarde. In roterende assenstelsels komen pseudokrachten en pseudoversnellingen voor die het gevolg zijn van het Corioliseffect.

Dynamische systemen[bewerken]

Rolwolk.

Veel dynamische verschijnselen in de natuur worden door veranderende drukgradiënten veroorzaakt of in stand gehouden. Onder deze verschijnselen vallen:

De stromingsvergelijkingen waarmee deze processen beschreven worden zijn over het algemeen erg ingewikkeld en moeilijk op te lossen. Ze worden binnen de wiskunde bij de dynamische systemen ingedeeld. Deze vergelijkingen waarin drukgradiënten een hoofdrol vervulllen, zoals de Navier-Stokes-vergelijkingen, vormen de theoretische basis voor de klimatologie en de meteorologie.

Systemen in evenwicht[bewerken]

Binnen statische toestanden van fysische systemen spelen drukgradiënten meestal een belangrijke rol. De luchtdruk op verschillende hoogten in de atmosfeer of de waterdruk op verschillende diepten in meren of oceanen wordt grotendeels bepaald door statische drukgradiënten. Het soortelijk gewicht van water en lucht en het zwaartekrachtsveld van de Aarde bepalen de grootte van deze drukken en drukgradiënten.

Homogene gravitatievelden[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Om het onderstaande te kunnen begrijpen is enige kennis nodig van differentiaalvergelijkingen en integraalrekening.

In een homogeen gravitatieveld in de verticale z-richting, en een vlakke dichtheidsverdeling ρ(x,y,z) = ρ(z), waardoor de x- en y-componenten, \scriptstyle \partial p/\partial x en \scriptstyle \partial p/\partial y, in de gradiënt verdwijnen, spelen alleen termen met een z-component een rol:

{\frac{\partial P}{\partial z}} = -g\,\rho(z)

waarin \scriptstyle \rho(z) de dichtheid van het medium op een bepaalde hoogte z is en g de valversnelling. De gradiënt heeft een negatieve waarde omdat de druk afneemt als de hoogte toeneemt. Omdat de componenten in het horizontale vlak wegvallen kan de vergelijking opgevat worden als een gewone differentiaalvergelijking.

Onder standaardomstandigheden hebben drukgradiënten op zeeniveau waarden van ongeveer 9.800 Pa/m in water en 12,6 Pa/m in lucht.

Duikers kunnen bij hoge drukken last van caissonziekte krijgen als ze te diep duiken.

Vloeistoffen[bewerken]

Vloeistoffen zijn meestal slecht samendrukbaar zodat de dichtheid van een vloeistof vrijwel niet afhankelijk is van de druk. Dan kan de vergelijking voor de drukgradiënt geschreven worden als:

\frac{d}{d z}\,P(z) = -g\,\rho_v

waarin \scriptstyle \rho_v de dichtheid van de vloestof is. Bij een constante dichtheid levert de oplossing van deze vergelijking in een homogeen zwaartekrachtsveld de relatie:

P(z) = P_0 - g\,\rho_v\,z

voor z < 0 op, waarin p0 de druk aan het vloeistofoppervlak is bij z = 0.

Duiken[bewerken]

De uitdrukking voor de drukgradiënt laat zien dat de druk onder water met iets minder dan 0,1 atm per meter toeneemt als men naar grotere diepte gaat. Om de veiligheid te waarborgen bij het ontwerpen van onderzeeërs, duikuitrustingen en het opstellen van procedures voor duiken op grote diepte is het noodzakelijk om de drukgradiënt te kennen.

De snelheid waarmee luchtballonnen opstijgen hangt af van verschillen in de dichtheid van gassen.

Gassen[bewerken]

Voor een ideaal gas is de dichtheid bij constante temperatuur evenredig aan de druk:

\rho(z) = \frac{M}{R\,T}\,P(z)

waarin M de molaire massa, R de gasconstante en T de temperatuur is. Voor de relatie tussen de drukgradiënt en de druk geldt dan:

\frac{d}{d z}\,P(z) = -\frac{g\,M}{R\,T}\,P(z)

De integraal van deze vergelijking geeft voor z > 0 de relatie tussen druk en hoogte:

P(z) = P_0\,e^{ -\frac{g\,M}{R\,T}\,z}

waarin P0 de druk voor z = 0 is.

Luchtdruk[bewerken]

Een bergbeklimmer op de top van de Kusum Kanguru op 6.369 m hoogte in Nepal.
Moderne zweefvliegtuigen kunnen tot zeer grote hoogten opstijgen.

Horizontale luchtdrukgradiënten[bewerken]

De luchtdruk die op een bepaalde locatie op zeeniveau gemeten wordt hangt af van de massa van de luchtkolom boven het meetpunt. Boven plaatsen met een lagere luchtdruk is de massa van de luchtkolom kleiner. Verschillen in luchtdruk in het horizontale vlak op verschillende lokaties op zeeniveau kunnen met een barometer gemeten worden. Deze drukverschillen geven verschillen in de dikte van de plaatselijke luchtkolommen aan, het zijn de horizontale drukgradiënten die luchtstromingen in gang zetten.

De horizontale luchtdrukgradiënten zijn vele malen kleiner dan de verticale luchtdrukgradiënten en zijn sterk afhankelijk van lokale weersomstandigheden. De horizontale luchtdrukgradiënten kunnen niet gemakkelijk gemeten of uit een paar meetwaarden afgeleid worden. Horizontale luchtdrukgradiënten worden berekend uit de meetwaarden die verzameld worden door meetstations. Die gegevens worden in weerkaarten verwerkt zoals in de figuur rechts afgebeeld is. Het drukverschil tussen twee isobaren op de weerkaart bedraagt gewoonlijk 5 hPa. Een blik op een aantal weerkaarten laat zien dat de horizontale luchtdrukgradiënten oplopen op tot maximaal zo'n 5 10-3 Pa/m. De waarden van de verticale luchtdrukgradiënten op zeeniveau liggen in de orde van 13 Pa/m.

Verticale luchtdrukgradiënten[bewerken]

Als men afwijkingen ten gevolge van verticale temperatuurgradiënten in de troposfeer verwaarloost, dan neemt de luchtdruk op Aarde bij toenemende hoogte, ten gevolge van de afnemende hoeveelheid lucht in de luchtkolom erboven, bij benadering exponentieel af volgens de relatie die hierboven voor gassen gegeven is. Op weerkaarten moet de luchtdruk die door meetstations op grotere hoogte gemeten is voor het hoogteverschil met zeeniveau gecorrigeerd worden.

De meeste (gewervelde) dieren leven op hoogten die niet meer dan een paar kilometer boven zeeniveau liggen. De meeste mensen kunnen op grotere hoogten niet optimaal functioneren zodra de luchtdruk, en daarmee ook de partiële druk van zuurstof in de lucht, met meer dan 30% daalt t.o.v. de luchtdruk op zeeniveau. Als de luchtdruk met meer dan 50% daalt wordt lichamelijke inspanning voor de meesten moeilijk en gaan de hersenen traag werken. Daarbij kunnen sommigen in een euforische stemming raken waardoor ze een gezond oordeelsvermogen kwijt kunnen raken. In onderstaande tabel zijn de atmosferische drukken tot op 10 km hoogte weergegeven.

Hoogte
(km)
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0
Luchtdruk
(atm)
1,0 0,88 0,78 0,69 0,61 0,54 0,47 0,42 0,37 0,32 0,29

Voor bergsporters, zweefvliegers, straaljagerpiloten, sommige ballonvaarders en anderen die de hoogte in gaan is het belangrijk om te weten op welke hoogte het nodig is om een zuurstofmasker op te zetten of om een drukpak aan te trekken. De maximale hoogte hmax die bereikt kan worden tot een minimale druk Pmin is eenvoudig te berekenen met:

h_{max} = \frac{R\,T}{g\,M} \ln \left[\frac{P_0}{P_{min}}\right]

waarin:

\frac{R\,T}{g\,M} \approx 8.0 \,\,km

waarvoor een temperatuur van ongeveer 273 Kelvin en een molaire massa van 28,8 gram per mol voor lucht aangenomen is.


Zie ook[bewerken]