Duale ruimte

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Duale vectorruimte)
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra en de functionaalanalyse, beide deelgebieden van de wiskunde, heeft elke vectorruimte V een overeenkomstige duale ruimte (of langer duale vectorruimte) die uit alle eenvormen (lineaire functionalen) op V bestaat, dat wil zeggen de lineaire afbeeldingen naar het lichaam (Ned) / Veld (Be) van de vectorruimte.

Duale vectorruimten gedefinieerd op eindigdimensionale vectorruimten, kunnen worden gebruikt voor het definiëren van tensoren, die bestudeerd worden in de tensoralgebra. Wanneer toegepast op vectorruimten van functies (die typisch oneindigdimensionaal zijn), worden duale ruimten gebruikt voor het definiëren en bestuderen van concepten als maten, distributies en Hilbertruimten. Bijgevolg is de duale ruimte een belangrijk begrip in de studie van de functionaalanalyse.

Er zijn twee soorten duale ruimten: de algebraïsche duale ruimte en de continue duale ruimte. De algebraïsche duale ruimte wordt voor alle vectorruimten gedefinieerd. Voor een topologische vectorruimte bestaat er een deelruimte van deze (algebraïsche) duale ruimte, corresponderend met continue lineaire functionalen die een continue duale ruimte vormt.

Definitie[bewerken]

Zij V een vectorruimte over een lichaam (Nederlandse term; in België wordt dit een 'veld' genoemd) K. Noem V* de verzameling van eenvormen op V, dat wil zeggen de lineaire afbeeldingen van V naar K. De elementen van V* kunnen puntsgewijs bij elkaar worden opgeteld en puntsgewijs worden vermenigvuldigd met een constante uit K. Op deze manier ontstaat een optelling en een scalaire vermenigvuldiging waarmee V* eveneens een vectorruimte wordt over het lichaam K. We noemen deze vectorruimte de duale vectorruimte (ook "het duaal" of "de duale") van V.

Dimensie[bewerken]

Elke vectorruimte heeft een basis. Elke vector kan op precies één manier geschreven worden als een lineaire combinatie van de basisvectoren.

Voor een vaste basisvector b is de afbeelding die een vector van V afbeeldt op zijn coëfficiënt ten opzichte van b, een lineaire afbeelding b* van V naar K, dus een element van V*. We noemen dit de duale basisvector van b. De duale basisvectoren zijn weliswaar lineair onafhankelijk in V*, maar ze brengen V* niet noodzakelijk voort - ze vormen dus niet altijd een basis voor V*.

Als V eindigdimensionaal is, zeg dimensie n, is de duale basis (b1*, ..., bn*) van de basis (b1, ..., bn) van V wel degelijk een basis van V*. Voor een willekeurig element f van V*, met coëfficiënten:

f=f_1b^*_1+ \dots +f_nb^*_n

geldt:

f(b_i)=f_1b^*_1(b_i)+ \dots +f_nb^*_n(b_i)=f_i

De dimensie van V* is dus minstens die van V, en als V eindigdimensionaal is zijn beide dimensies gelijk.

Topologisch duaal[bewerken]

Als V een topologische vectorruimte is, heeft het zin te kijken naar de verzameling continue lineaire afbeeldingen van V naar K. Deze vormt op haar beurt een topologische vectorruimte met de topologie der puntsgewijze convergentie (de spoortopologie van de producttopologie op KV).

Om onderscheid te maken, spreekt men van algebraïsch duaal respectievelijk topologisch duaal. De topologisch duale vectorruimte is in het algemeen een deelverzameling van de algebraïsch duale vectorruimte. In de meeste teksten over functionaalanalyse speelt de algebraïsch duale ruimte geen rol, en de term "duale ruimte" slaat op de duale topologische vectorruimte. Als er geen verwarring mogelijk is, wordt de ster-notatie V* eveneens gebruikt voor de topologisch duale ruimte van V.

Inproduct[bewerken]

Als V een reële of complexe vectorruimte is met een inproduct (en dus met welgedefinieerde begrippen loodrechte stand en afstand), dan definieert de bewerking "rechts inproduct met een vaste gegeven vector" een continue lineaire afbeelding van V naar K. De afbeelding die met de vaste gegeven vector de corresponderende lineaire afbeelding in verband brengt, is een injectieve continue lineaire afbeelding van V naar V* (toegevoegd lineair of semilineair in het geval van een complexe inproductruimte).

Als de norm die door het inproduct wordt gedefinieerd, volledig is (m.a.w. als V een Hilbertruimte is), dan is deze continue (semi)lineaire afbeelding van V naar V* een bijectieve isometrie.

Duaal moduul[bewerken]

Als we het lichaam K vervangen door een ring R, dan spreken we niet meer van vectorruimten maar van modulen. Bij de definitie van de duale ruimte hebben we geen gebruik gemaakt van de omkeerbaarheid van de elementen van K, dus de definitie blijft geldig voor het duaal moduul M* van een gegeven moduul M over een ring R. Zoals altijd bij modulen, moet men voorzichtig zijn met beschouwingen over basissen en dimensies.

Abelse groepen kunnen worden opgevat als modulen over de ring der gehele getallen en omgekeerd. De duale abelse groep is dan het duale moduul in hogergenoemde zin.