Dynkinsysteem

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een Dynkinsysteem op een niet-lege verzameling is in de maattheorie een collectie deelverzamelingen vergelijkbaar met een σ-algebra. Dynkinsystemen zijn genoemd naar de Russische wiskundige Eugene Borisovich Dynkin. Ze ontlenen hun belang aan de toepassing, voornamelijk in de (Lebesgue-)integraalrekening en de kansrekening, van de stelling van Dynkin,

Definitie[bewerken]

Een collectie deelverzamelingen \mathcal{D} van een niet-lege verzameling Ω heet een Dynkinsysteem als de volgende eigenschappen van toepassing zijn op het 'systeem' \mathcal{D}:

  • de verzameling Ω behoort zelf tot het systeem
\Omega \in \mathcal{D}.
  • het systeem is gesloten onder relatieve complementvorming
A,B \in \mathcal{D}\mbox{ en }A \subseteq B \implies B \setminus A \in \mathcal{D}
  • het systeem is gesloten onder vereniging van stijgende rijen
\{A_n\}_{n\in\mathbb{N}} \subset \mathcal{D} \mbox{ en } A_n \subseteq A_{n+1} \implies\bigcup_{n \in\mathbb{N}} A_{n}\in \mathcal{D}

Als \mathcal{J} een willekeurige verzameling van deelverzamelingen van \Omega is, dan is de doorsnede van alle Dynkinsystemen die \mathcal{J} omvatten, zelf ook een Dynkinsysteem. We noemen deze doorsnijding het Dynkinsysteem dat gegenereerd wordt door \mathcal{J}. Het is tevens het kleinste Dynkinsysteem dat \mathcal{J} omvat.

De machtsverzameling van Ω is altijd een Dynkinsysteem, dus er is altijd minstens één Dynkinsysteem dat \mathcal{J} omvat.

Een Dynkinsysteem dat ook een pi-systeem is, is een sigma-algebra.

Stelling van Dynkin[bewerken]

Als \mathcal{C} een collectie deelverzamelingen is van \Omega die gesloten is onder eindige doorsnede, en \mathcal{D} een Dynkinsysteem dat \mathcal{C} omvat, dan omvat \mathcal{D} ook \sigma(\mathcal{C}), de sigma-algebra voortgebracht door de elementen van \mathcal{C}.