Eenheidswortel

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De drie 3-eenheidswortels in het complexe vlak
Plot van z3-1, waarin een nul wordt weergegeven door de kleur zwart.
Plot van z5-1, waarin een nul wordt weergegeven door de kleur zwart.

In de wiskunde zijn de n-de eenheidswortels, of de Moivre-getallen, alle complexe getallen die 1 opleveren, wanneer zij tot een gegeven macht n worden verheven. De eenheidswortels liggen op de eenheidscirkel van het complexe vlak en zij vormen in dat complexe vlak n-zijdige regelmatige veelhoeken met een hoekpunt op 1.

Voorbeeld[bewerken]

De derdemachtswortels van de eenheidswortel zijn

\left\{ 1, \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \right\} of ook \left\{ 1, e^\frac{2i\pi}{3}, e^\frac{-2i\pi}{3} \right\}.

2-eenheidswortels worden vierkantswortels, en 3-eenheidswortels worden derdemachtswortels genoemd.

Definitie[bewerken]

Een element \zeta\in R noemt men de n-de eenheidswortel, wanneer aan een van beide gelijkwaardige voorwaarden wordt voldaan:

Een n-de eenheidswortel \zeta wordt primitief, genoemd als \zeta^k\ne 1 voor k=1,\ldots,n-1.

Er zijn n verschillende n-de eenheidswortels:

\zeta^k \qquad (k = 1, 2, 3, \dots, n  )

waar \zeta een primitieve n-de eenheidswortel is. De primitieve n-de eenheidswortels zijn die \zeta^k, waar k en n relatief priem zijn.

Een primitieve n-de eenheidswortel is

\zeta=e^{2 \pi i/n} \,

omdat

\zeta^n=(e^{2 \pi i/n})^n =  e^{2 \pi i}=1 \,

De n-de eenheidswortels in R vormen een subgroep van de vermenigvuldigingsgroep R^\times, die vaak met \mu_n(R) wordt aangegeven.

Zie ook[bewerken]

Referenties[bewerken]