Eenterm

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de algebra is een eenterm of monomium een polynoom dat slechts uit één term bestaat. Anders gezegd is een eenterm het product van een coëfficiënt met een of meer positieve machten van variabelen.

Schrijfwijze[bewerken]

Omdat er geen verwarring mogelijk is, wordt het vermenigvuldigingsteken meestal weggelaten. De coëfficiënt 1 en de exponent 1 worden ook meestal weggelaten. Dus 7ab betekent: zevenmaal de veranderlijke a (tot de macht 1) maal de veranderlijke b (eveneens tot de macht 1). In deze eenterm bedraagt de coëfficiënt 7, en de veranderlijken a en b komen beiden voor in de eerste macht.

Voorbeelden van eentermen:

a, \ a^2, \ 7ab, \ -5a^2b^4

Elke veelterm is een som van eentermen, bijvoorbeeld is de uitdrukking

\ 5x^3+7x^2-2x-10

uit de volgende eentermen opgebouwd:

5x^3, \ 7x^2, \ -2x^1, \ -10x^0

Graad van een eenterm[bewerken]

De graad van een eenterm is de som van de exponenten in de machten van de variabelen. Afzonderlijke coëfficiënten (zonder variabele) hebben graad 0. Voor de bijzondere eenterm 0 worden verschillende conventies gehanteerd: soms kent men hieraan de graad -1 toe, soms -\infty.

De graad van de eenterm -5a2b4 bedraagt 2+4=6.

De afzonderlijke exponent van één veranderlijke noemt men ook de graad van de eenterm in die veranderlijke. Bovenstaande eenterm is van de tweede graad in a en van de vierde graad in b. De (totale) graad van de eenterm is dus de som van de graden in alle veranderlijken afzonderlijk. Als een variabele niet voorkomt in de eenterm, zegt men ook dat de eenterm graad 0 heeft in die veranderlijke.

Bewerkingen op eentermen[bewerken]

De tegengestelde eenterm is de eenterm die men bekomt door de coëfficiënt te vervangen door zijn tegengestelde (invers element voor de optelling).

-\left(7ab\right)=(-7)ab

Het product van twee eentermen is opnieuw een eenterm. De graad van het product in iedere gegeven veranderlijke is de som van de graden van de afzonderlijke eentermen in diezelfde veranderlijke. De totale graad van het product is de som van de totale graden van de afzonderlijke eentermen.

\left(7ab\right).\left(-5a^2b^4\right)=(-35)a^3b^5

De som van twee eentermen is niet altijd een eenterm: dit gebeurt alleen als elke veranderlijke met precies dezelfde exponent voorkomt in beide afzonderlijke eentermen. In het andere geval noemt men het resultaat soms een tweeterm. In elk geval is de som van twee of meer eentermen steeds een polynoom.

\left(7ab\right)+\left(2ab\right)=9ab
\left(7ab\right)+\left(a^2\right)=7ab+a^2

In alle bovenstaande voorbeelden kunnen de haakjes (en de punt als vermenigvuldigingsteken) worden weggelaten.

Alternatieve definitie[bewerken]

In delen van de literatuur wordt een eenterm gezien als louter bestaand uit een product van variabelen (dus zonder de coëfficiënten). Als men deze conventie volgt, dan hebben eentermen de volgende eigenschap:

Beschouwt men de veeltermring K[X_1, \ldots, X_n] in  n \, variabelen X_1, \ldots, X_n over een lichaam K \, als een vectorruimte over K \,, dan is de verzameling van eentermen een basis van deze vectorruimtes.

In het specifieke geval van een enkele variabele X \, bestaat deze basis dus uit de eentermen

1, \ X, \ X^2, \ X^3, \ \ldots

Zie ook[bewerken]