Eindige-differentiemethode

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De eindige differentiemethode (Engels: finite difference method) is een methode van numerieke wiskunde om partiële differentiaalvergelijkingen op te lossen. De methode bestaat erin, om de continue ruimte x,y,z,t te vervangen door een kubisch rooster i,j,k,l met afmeting h en de partiële differentialen \partial U door eindige differenties dus verschillen van U.

Zo wordt de Laplace-operator \nabla ^2 in 3 dimensies x,y,z dus i,j,k benaderd als

\nabla ^2 U \approx ((U(i+1,j,k) + U(i-1,j,k) + U(i,j+1,k) + U(i,j-1,k) + U(i,j,k+1) + U(i,j,k-1))/6  -  U(i,j,k))/h^2

De op te lossen partiële differentiaalvergelijkingen worden opgedeeld in drie klassen: elliptische, parabolische en hyperbolische differentiaalvergelijkingen. Elke soort vergt een eigen manier van eindige differentie.

Elliptisch[bewerken]

Elliptische differentiaalvergelijkingen zijn partiële differentiaalvergelijkingen van de vorm van de golfvergelijking

\nabla ^2 U = \partial ^2U/\partial t^2

Dergelijke vergelijkingen komen voor bij alle golf (natuurkunde): elektromagnetische golf, geluidsgolf, oppervlaktegolf (vloeistofdynamica), seismische golf, Rayleighgolf, Love-golf. Zo geformuleerd leent de vergelijking zich nog niet tot eindige differenties, maar bij een vaste pulsatie s vereenvoudigt dit tot de Helmholtz-vergelijking:

\nabla ^2 U = s^2 U

Die wel met eindige differenties oplosbaar is. Een bijzonder geval is de Poissonvergelijking:

\nabla ^2 U = g(x,y,z,t)

g is de bronterm, bijvoorbeeld lading of stroom. Dit gaat met eindige differenties. Een bijzonder geval is als de bronterm nul is: de Vergelijking van Laplace.

\nabla ^2 U = 0

De vergelijking van Laplace of potentiaalvergelijking komt veel voor in de elektrostatica en de magnetostatica maar ook in de vloeistofdynamica.

Een goede methode van eindige differentie voor de gevallen hierboven is nu de methode van Gauss-Seidel, voor de eenvoud van notatie enkel in 3 dimensies x,y,t dus i,j,l

U(i,j,l) = (U(i-1,j,l) + U(i+1,j,l-1) + U(i,j+1,l-1) + U(i,j+1,l-1))/4 - h^2 g(i,j,l)

De methode komt er nu op neer, om alle punten van het kubisch rooster één voor één af te lopen en telkens de formule toe te passen relaxatie. Op de rand moet de randvoorwaarde toegepast worden. Dit is dikwijls een vaste waarde - dikwijls nul - Dirichlet-randvoorwaarde of een vaste afgeleide - dikwijls nul - Neumann-randvoorwaarde of een combinatie van beide impedantie-randvoorwaarde. Dit wordt zo dikwijls herhaald iteratie, tot geen verandering meer optreedt: convergentie. Een verbetering in snelheid levert successieve overrelaxatie:

U(i,j,l) = \phi U(i,j,l) - (\phi - 1) U(i,j,l-1),

waarin \phi = 1,618 de gulden snede voorstelt.

Parabolisch[bewerken]

Parabolische differentiaalvergelijkingen zijn partiële differentiaalvergelijkingen van de vorm van de diffusievergelijking:

\nabla ^2 U = \partial U/\partial t

Diffusievergelijkingen komen voor bij processen van diffusie: warmte, neutronen, isotoop. Een goede methode van eindige differentie is nu de methode van Crank-Nicholson, voor de eenvoud van notatie enkel in 2 dimensies x,t dus i,l:

U(i,l+1) = U(i-1,l+1)/2 - U(i,l+1) + U(i+1,l+1)/2 + U(i-1,l)/2 + U(i+1,l)/2

Op de rand geldt natuurlijk weer de randvoorwaarde van het gegeven probleem, bijvoorbeeld in het geval van warmte een Dirichlet-voorwaarde voor een rand op vaste temperatuur of een Neumann-voorwaarde voor een geïsoleerde rand. Vertrekkend vanaf een gegeven U(x,y,z,0) op tijd 0 laat successieve toepassing van de formule nu toe een benadering te berekenen op latere tijden: U(x,y,z,t).

Hyperbolisch[bewerken]

Hyperbolische differentiaalvergelijkingen zijn partiële differentiaalvergelijkingen van de vorm

\nabla ^2 U = -  \partial ^2U/\partial t^2

Dergelijke vergelijkingen komen voor in de stromingsleer boven de geluidssnelheid. Inderdaad, de Navier-Stokes vergelijkingen worden dan hyperbolisch. Er is een methode van Lax in dit geval, maar een groot probleem voor de methode is het ontstaan van min of meer sterke schokgolven. Er zijn speciale methodes die net van de schokgolven uitgaan.