Eindige groep

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de groepentheorie, een onderdeel van de wiskunde, is een eindige groep een groep die een eindig aantal elementen heeft. Sommige aspecten van de theorie van eindige groepen zijn in twintigste eeuw in groot detail onderzocht, in het bijzonder de lokale theorie, en de theorie van de oplosbare groepen van de nilpotente groepen. Het is echter niet mogelijk om de structuur van alle eindige groepen compleet te bepalen; het aantal mogelijke structuren is daarvoor te groot. Wel is men er in de twintigste eeuw in geslaagd een classificatie van eindige enkelvoudige groepen op te stellen. Deze eindige enkelvoudige groepen kunnen worden gezien als de bepaling van de "bouwblokken" voor alle eindige groepen, aangezien elke groep een compositie series bevat.

Dankzij het werk van wiskundigen als Chevalley en Steinberg is het begrip van eindige analoga van klassieke groepen en daaraan gerelateerde groepen in het tweede deel van de twintigste eeuw sterk toegenomen. Een zo'n familie van groepen zijn de algemene lineaire groepen over eindige velden. De groeptheoreticus J. L. Alperin heeft hierover het volgende geschreven dat "Het typische voorbeeld van een eindige groep is GL(n,q), de algemene lineaire groep van n dimensies over een veld met q elementen. De student die aan de hand van andere voorbeelden kennis maakt met het onderwerp wordt misleid."[1]

Eindige groepen komen vaak naar voren bij beschouwing van de symmetrie van wiskundige- of natuurkundige objecten, wanneer deze objecten slechts een eindig aantal structuur bewarende transformatie toestaan. De theorie van de Lie-groepen, die gezien kan worden als zich bezig houdend met "continue symmetrie", is sterk beïnvloed door de geassocieerde Weyl-groepen. Dit zijn eindige groepen die worden gegenereerd door spiegelingen die aangrijpen op een eindig dimensionale Euclidische ruimte. Eigenschappen van eindige groepen kunnen dus een rol spelen in onderwerpen als de theoretische natuurkunde.

Aantal groepen van een gegeven orde[bewerken]

Gegeven een positief geheel getal n, is het zeker geen routinezaak om te bepalen hoeveel verschillende isomorfe types van groepen van orde n er zijn. Elk groep van priem orde is cyclisch, aangezien de stelling van Lagrange impliceert dat de cyclische subgroup wordt gegenereerd door elk van de niet-neutrale elementen van is de gehele groep.

  • Als n het kwadraat van de priem is, dan zijn er exact twee mogelijke isomorfe types van groepen van orde n, die beide abels zijn.
  • Als n een hogere macht van de priem is, dan geven resultaten door Graham Higman en Charles Sims asymptotische correcte schattingen van het aantal van de isomorfe types van groepen van orde n, dit aantal neemt zeer snel toe naarmate de macht groter is. .

Afhankelijk van de priemfactorisatie van n, kunnen er enige restricties gelegd worden op de structuur van de groepen van orde n, als een consequentie, bijvoorbeeld van resultaten zoals de stellingen van Sylow. Elke groep van orde pq is bijvoorbeeld cyclisch, wanneer p en q verschillende priemgetallen zijn, waar q kleiner is dan p en p-1 niet deelbaar is door q. Als n verder geen kwadraten kent, dan is elke groep van orde n oplosbaar. De stelling van William Burnside, die werd bewezen door gebruik te maken van de groepskarakteristieken, stelt dat elke groep van orde n oplosbaar is, wanneer n deelbaar door minder dan drie verschillende priemgetallen. De stelling van Feit-Thompson, die een lang, gecompliceerd bewijs kent, stelt dat elke groep van orde n oplosbaar is, wanneer n oneven is.

In zekere zin zijn voor elk positief geheel getal n de meeste groepen van orde n oplosbaar. Dit in te zien voor een bepaalde orde wordt meestal niet als moeilijk ervaren (er is bijvoorbeeld slechts één niet-oplosbare groep van orde 60, terwijl er twee niet-isomorfe abelse groepen van orde 60 en nog verschillende andere isomorfe types van niet-abelse groepen van orde 60 zijn), maar om zo'n stelling te generaliseren voor alle n vereist de classificatie van eindige enkelvoudige groepen. Zonder dit classificatie theorema is het niet duidelijk of er een bovengrens is aan het constante aantal van isomorfe types van enkelvoudige groepen van orde n (nu de classificatie is gemaakt is het echter bekend dat de constante 2 de bovengrens is voor alle n. Voordat de classificatie er was heeft men lang gedacht dat er een oneindig aantal waarden n zouden zijn, waarvoor de twee niet-isomorfe enkelvoudige groepen van orde n bestonden).

Referenties[bewerken]

  1. Jonathan L. Alperin, Book review: B. Huppert and N. Blackburn Title: Finite groups (Eindige groepen), Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society, 10 (1984) 121, DOI:10.1090/S0273-0979-1984-15210-8

Zie ook[bewerken]