Einstein-sommatieconventie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De einstein-sommatieconventie is een wiskundige afspraak dat bij sommatie over herhaalde indices het sommatieteken niet genoteerd maar impliciet verondersteld wordt, op voorwaarde dat een dergelijke index zowel covariant als contravariant (vereenvoudigd: "boven" en "beneden") optreedt. De som loopt over alle mogelijke waarden van de index, meestal zijn dit alle mogelijke dimensies van een riemann-variëteit of lorentz-variëteit. Dit scheelt in het gebruik van sommatietekens. De conventie is genoemd naar Albert Einstein, die haar in 1916 voor het eerst gebruikte. Een voorbeeld:

\sum_{i=1}^{3} a_{i}x^{i} = a_{1}x^{1} + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} schrijven we als \!a_{i}x^{i}

Als dit voorbeeld gebruikt zou worden, zou de lezer dus van tevoren moeten weten dat in dit geval i van 1 t/m 3 loopt. Bij Einstein zelf lopen de indices meestal van 1 tot 4, omdat hij vooral geïnteresseerd was in de vierdimensionale ruimte-tijd. Wanneer de tensoren gedefinieerd zijn in cartesische coördinaten laat men het onderscheid tussen co- en contravariante indices vaak weg. Hoewel dit niet geheel zuiver is, is het vaak wel handig.