Einstein-sommatieconventie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De Einstein-sommatieconventie is een wiskundige afspraak dat bij sommatie over herhaalde indices het sommatieteken niet genoteerd maar impliciet verondersteld wordt, op voorwaarde dat een dergelijke index zowel covariant als contravariant (vereenvoudigd: "boven" en "beneden") optreedt. De som loopt over alle mogelijke waarden van de index, meestal zijn dit alle mogelijke dimensies van een Riemannse variëteit in de differentiaalmeetkunde. Dit scheelt in het gebruik van sommatietekens. De conventie is genoemd naar Albert Einstein, die haar in 1916 voor het eerst gebruikte. Een voorbeeld:

\sum_{i=1}^{3} a_{i}x^{i} = a_{1}x^{1} + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} schrijven we als \!a_{i}x^{i}

Als dit voorbeeld gebruikt zou worden, zou de lezer dus van tevoren moeten weten dat in dit geval i van 1 t/m 3 loopt. Bij Einstein zelf lopen de indices meestal van 1 tot 4, omdat hij vooral geïnteresseerd was in de vierdimensionale ruimte-tijd. Wanneer de tensoren gedefinieerd zijn in Cartesische coördinaten laat men het onderscheid tussen co- en contravariante indices vaak weg. Hoewel dit niet geheel zuiver is, is het vaak wel handig.