Eisenstein-reeks

In de wiskunde is een Eisensteinreeks, genoemd naar de Duitse wiskundige Gotthold Eisenstein, een bijzondere modulaire vorm met oneindige reeks uitbreidingen die direct kunnen worden opgeschreven. Oorspronkelijk gedefinieerd voor de modulaire groep, kan een Eisensteinreeks worden veralgemeend in de theorie van de automorfe vormen.

Eisenstein-reeks voor de modulaire groep

Het reële deel van G_6 als een functie van q op de eenheidsschijf.

Het imaginaire deel van G_6 als een functie van q op de eenheidsschijf.

Laat $\tau$ een complex getal zijn met een strikt positief imaginair deel. Definiëer de holomorfe Eisensteinreeks $G_(2k)(\tau)$ met gewicht $2k,$, waar $k\geq 2$ een geheel getal is, door de volgende reeks:

$G_{2k}(\tau) = \sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}$

Deze reeks convergeert absoluut naar een holomorfe functie van $\tau$ in het bovenhalfvlak en zijn Fourieruitbreiding, die hieronder wordt gegeven laat zien dat het uitbreidt naar een holomorfe functie op $\tau=i\infty.$ Het is een opmerkelijk feit dat de Eisensteinreeks een modulaire vorm is. Sterker nog, de belangrijkste eigenschap van de Eisensteinreeks is zijn $SL_2(\mathbb{Z})-$invariantie.

Expliciet als $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$ en $ad-bc=1$ dan geldt

$G_{2k} \left( \frac{ a\tau +b}{ c\tau + d} \right) = (c\tau +d)^{2k} G_{2k}(\tau)$

en $G_{2}$ is daarom een modulaire vorm van gewicht $2k$. Merk op dat het belangrijk is om te veronderstellen dat $k\geq 2,$ anders zou het niet legitiem zijn om de volgorde van sommatie te veranderen, en zou de $SL_2(\mathbb{Z})$-invariantie niet houden. In feite zijn er geen niet-triviale modulaire vormen met gewicht 2. Niettemin kan een analogon van de holomorfe Eisensteinreeks zelfs voor $k=1,$ worden gedefinieerd, al zou dit slechts een bijna modulaire vorm zijn.