Element (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de verzamelingenleer is een element een onderdeel van een verzameling of, meer algemeen, een klasse. Alle elementen samen vormen de verzameling (of klasse).

Verzamelingenleer en elementen[bewerken]

Bij een verzameling A = { 1, 2, 3, 4 } noemt men de getallen 1, 2, 3 en 4 de elementen van verzameling A. Een groep van elementen uit A, bijvoorbeeld de verzameling B = { 1, 2 } noemt men een deelverzameling van A.

Een element van een verzameling kan zelf ook een verzameling zijn. Zo bestaat de verzameling C = { 1, 2, { 3, 4 } } uit drie elementen, namelijk de getallen 1 en 2 en de verzameling { 3, 4 }.

De elementen van een verzameling kunnen van alles zijn. De verzameling

C=\{ \mbox{rood, groen, blauw} \},

is bijvoorbeeld de verzameling, waarvan de elementen de kleuren rood, groen en blauw aanduiden.

Notatie[bewerken]

De relatie "is een element van", ook wel "lidmaatschap van een verzameling" genoemd, wordt aangegeven met ∈:

x \in A

wat betekent dat x een element is van verzameling A. Er geldt bijvoorbeeld 3 \in \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}.

Men kan ook zeggen of schrijven dat "element x lid is van verzameling A", "element x deel uitmaakt van verzameling A" of "verzameling A het element x bevat".

De ontkenning van het lidmaatschap van een verzameling wordt aangegeven door ∉.

x \not \in A

Dit betekent dat x niet in de verzameling A zit. Er geldt bijvoorbeeld 7 \not \in \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}.

Kardinaliteit[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie kardinaliteit voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Het aantal elementen in een verzameling wordt de kardinaliteit genoemd. Informeel gezegd is dit de grootte van een verzameling. De kardinaliteit van de bovengenoemde verzamelingen A en C is bijvoorbeeld respectievelijk 4 en 3. Een oneindige verzameling bevat een oneindig aantal elementen. De gegeven voorbeelden zijn voorbeelden van eindige verzamelingen. Een voorbeeld van een oneindige verzameling is de verzameling van de natuurlijke getallen \N = \{ 0, 1, 2, 3, \ldots \}.

Voorbeelden[bewerken]

Enkele voorbeelden:

5 \in \mathbb{N} (5 is een element van de verzameling natuurlijk getallen)
 {3 \over 4} \in \mathbb{Q} (3/4 is een element van de verzameling rationale getallen)
 \sqrt{2} \in \mathbb{R} (de wortel van 2 behoort tot de verzameling reële getallen)
 \sqrt{2} \notin \mathbb{Q} (de wortel van 2 behoort niet tot de verzameling rationale getallen)