Elementaire algebra

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Elementaire algebra of "middelbare-schoolalgebra" is de basisvorm van algebra. Terwijl in de rekenkunde alleen met concrete getallen gerekend wordt, vindt in de algebra abstractie plaats en wordt er ook symbolisch gerekend, met constanten en variabelen die getallen voorstellen en aangeduid worden met letters en andere symbolen. Door deze abstractie is het mogelijk:

  • de rekenregels algemeen te formuleren
  • de eigenschappen van de getallen te onderzoeken
  • vergelijkingen op te stellen voor onbekende grootheden
  • functies te definiëren, die verband leggen tussen verschillende variabelen

Abstractie[bewerken]

Abstractie laat zich demonstreren door de volgende situatie.

We zijn aan het tellen: 1,2,3, .... en worden onderbroken, zodat we vergeten waar we aangekomen waren. Welk getal moeten we als volgende nemen? We zeggen nu: noem het laatste getal dat we opnoemden n, het volgende is dus n+1. Zodra we (weer) weten wat n is, kunnen we weer concreet worden.

Of: ik weet dat Piet 10 jaar ouder is dan Jan. Maar ik weet niet hoe oud ze concreet zijn. Dan kan ik de relatie tussen hun leeftijden toch symbolisch weergeven. Noem de leeftijd van Jan j en die van Piet p, dan weet ik: p = j + 10.

Uitdrukkingen[bewerken]

Uit de bovenstaande voorbeelden blijkt dat in de algebra gewerkt wordt met uitdrukkingen, waarin behalve de rekenkundige bewerkingen, naast getallen ook symbolische constanten en variabelen voorkomen. Hieronder staan voorbeelden van zulke uitdrukkingen. Het is gebruikelijk de twee factoren in een vermenigvuldiging direct naast elkaar te schrijven, of, als dat verwarrend is, te scheiden door een · (een hoger geplaatste punt) in plaats van een ×.

x - 1
x + 2y
x^2 - 4
2 \pi r

Gelijkheden[bewerken]

Met een gelijkheid wordt aangegeven dat twee uitdrukkingen aan elkaar gelijk zijn. We schrijven de beide uitdrukkingen achter elkaar met een =-teken ertussen.

2 - 1 = 1\,
2^2 - 4 = 0\,

Hieronder staan er nog een paar.

x - 1 = -1 + x\,
x + 2y = y + x + y\,
x^2 - 4 =(x-2)(x+2)\,

Gelijkheden zijn altijd waar, welke waarden van de variabelen ook gebruikt worden.

Substitutie[bewerken]

We kunnen in een uitdrukking een variabele vervangen, substitueren, door een mogelijke waarde van die variabele. De uitdrukking gaat dan over in een andere uitdrukking. Door substitutie van de gelijkheid x=2\,, dus door voor x de waarde 2 te substitueren gaan de genoemde uitdrukkingen over in:

2 - 1\,
2 + 2y\,
2^2 - 4\,
2 \pi r \,

Ook andere gelijkheden kunnen gesubstitueerd worden. Door de gelijkheid x=2 + t\,, gaat een uitdrukking in x over in een uitdrukking in t.

x - 1 = (2+t) - 1\,
x + 2y= (2+t)+2y\,
x^2 - 4=(2+t)^2-4\,

Vereenvoudigen[bewerken]

Het zal duidelijk zijn dat in de zojuist door substitutie gevonden uitdrukkingen nog wat gerekend kan worden: twee van de eerder genoemde kunnen nog vereenvoudigd worden:

2 - 1 = 1\,
2^2 - 4 = 0\,
(2+t) - 1=t+1\,
(2+t)^2-4=4+t^2+4t-4=t^2+4t\,

Vergelijkingen[bewerken]

Soms zijn twee uitdrukkingen alleen voor speciale waarden van de variabele(n) aan elkaar gelijk. We spreken dan van vergelijkingen met de variabelen als onbekenden. De waarden van de onbekenden waarvoor de vergelijking een gelijkheid is heten de oplossingen van de vergelijking.

x - 1 = 3\,, met als oplossing x=4
x + 2y = 0\,, met als oplossing x=-2y
x^2 - 4 = 2 - x\,, met als oplossingen x=2 en x=-3
3 \cdot {1 \over x} = {2 \over 5}\,, met als oplossing x={15 \over 2}