Enkelvoudig samenhangend
Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
In de algebraïsche topologie, een onderdeel van de wiskunde, is een enkelvoudig samenhangende ruimte ruwweg een ruimte zonder gaatjes en zonder losse stukken.
Inhoud |
[bewerken] Definitie
Beschouw een wegsamenhangende (boogsamenhangende) topologische ruimte X. Deze ruimte is enkelvoudig samenhangend indien elke lus nulhomotoop is, i.e. indien elke lus homotoop is met een punt. De enkelvoudige samenhangendheid van X kan ook worden uitgedrukt in termen van fundamentaalgroepen: X is enkelvoudig samenhangend als en slechts als de fundamentaalgroep van X triviaal is.
[bewerken] Voorbeelden en tegenvoorbeelden
Voorbeelden van enkelvoudig samenhangende ruimten:
- Het gewone vlak.
- De sfeer.
Voorbeelden van ruimten die niet enkelvoudig samenhangend zijn:
- Het doorprikte vlak, i.e. het vlak met één punt verwijderd. Dit is intuïtief wel duidelijk, maar het bewijs voor deze bewering is niet helemaal triviaal.
- De cirkel.
... maar ...
- De doorprikte ruimte, i.e. de driedimensionale Euclidische ruimte met daarin een punt verwijderd, is wel enkelvoudig samenhangend. Intuïtief kan er altijd rondom het gaatje worden gelopen en zo worden problemen vermeden.
[bewerken] Toepassingen
- In de algebraïsche topologie worden ruimten met niet-triviale homotopie bestudeerd aan de hand van hun universele overdekkingsruimten. De belangrijkste eigenschap van deze ruimten, is dat universele overdekkingsruimten zelf triviale homotopie hebben, of nog, dat ze enkelvoudig samenhangend zijn.
- In de complexe analyse geeft de afbeeldingstelling van Riemann een classificatie van de enkelvoudig samenhangende open delen van het complexe vlak, op biholomorfe equivalentie na.
- In de complexe analyse wordt integratie van functies langs gesloten paden in enkelvoudig samenhangende delen erg eenvoudig. Simpel uitgedrukt: als een differentieerbaar gesloten pad nulhomotoop is, dan is de lijnintegraal van een analytische functie langs dat pad, gelijk aan nul.
