Enkelvoudig samenhangende ruimte

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de algebraïsche topologie, een onderdeel van de wiskunde, is een enkelvoudig samenhangende ruimte ruwweg een ruimte zonder gaatjes en zonder losse stukken.

Definitie[bewerken]

Beschouw een wegsamenhangende (boogsamenhangende) topologische ruimte X. Deze ruimte is enkelvoudig samenhangend indien elke lus nulhomotoop is, dat wil zeggen dat indien elke lus homotoop is met een punt. De enkelvoudige samenhangendheid van X kan ook worden uitgedrukt in termen van fundamentaalgroepen: X is enkelvoudig samenhangend als en slechts als de fundamentaalgroep van X triviaal is.

Voorbeelden en tegenvoorbeelden[bewerken]

Voorbeelden van enkelvoudig samenhangende ruimten:

Een sfeer is enkelvoudig samenhangend omdat elke lus op het oppervlak kan worden samengetrokken tot een punt.

Voorbeelden van ruimten die niet enkelvoudig samenhangend zijn:

  • Het doorprikte vlak, i.e. het vlak met één punt verwijderd. Dit is intuïtief wel duidelijk, maar het bewijs voor deze bewering is niet helemaal triviaal.
  • De cirkel.

... maar ...

  • De doorprikte ruimte, i.e. de driedimensionale Euclidische ruimte met daarin een punt verwijderd, is wel enkelvoudig samenhangend. Intuïtief kan er altijd rondom het gaatje worden gelopen en zo worden problemen vermeden.

Toepassingen[bewerken]

  • In de algebraïsche topologie worden ruimten met niet-triviale homotopie bestudeerd aan de hand van hun universele overdekkingsruimten. De belangrijkste eigenschap van deze ruimten, is dat universele overdekkingsruimten zelf een triviale homotopie hebben, of nog, dat ze enkelvoudig samenhangend zijn.

Zie ook[bewerken]