Equivalente matrices

Binnen de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, heten de $m\times n$ -matrices $A$ en $B$ equivalent als er een inverteerbare $m\times m$ -matrix $P$ en een inverteerbare $n\times n$ -matrix $Q$ bestaan, zodanig dat

B=PAQ

Equivalente matrices kunnen gezien worden als matrices van dezelfde lineaire afbeelding, maar ten opzichte van verschillende bases. Dat kan ingezien worden door de keuze van bases $v_{1}$ en $v_{2}$ van $n$ vectoren in $V,$ en $w_{1}$ en $w_{2}$ van $m$ vectoren in $W,$ zodanig dat de matrices $Q$ en $P$ basistransformaties zijn,

Q=K_{v_{1}}K_{v_{2}}^{-1}\quad

van de overgang van

v_{1}

op

v_{2}

en

P=K_{w_{2}}K_{w_{1}}^{-1}\quad

van de overgang van

w_{1}

op

w_{2}

Daarin zijn

K_{v_{1}}:V\to \mathbb {R} ^{n}

K_{v_{2}}:V\to \mathbb {R} ^{n}

K_{w_{1}}:W\to \mathbb {R} ^{m}

K_{w_{2}}:W\to \mathbb {R} ^{m}

de betrokken coördinatiseringen. Dan is

B=PAQ=K_{w_{2}}K_{w_{1}}^{-1}AK_{v_{1}}K_{v_{2}}^{-1},

dus

K_{w_{2}}^{-1}BK_{v_{2}}=K_{w_{1}}^{-1}AK_{v_{1}}={\mathcal {L}}:V\to W

een lineaire afbeelding die met betrekking tot de verschillende bases wordt voorgesteld door zowel $A$ als door $B.$

Equivalentierelatie[bewerken | brontekst bewerken]

De relatie van equivalentie tussen matrices is inderdaad een equivalentierelatie, want:

(Reflexiviteit) Elke matrix is equivalent met zichzelf; kies voor $P$ en $Q$ de geschikte eenheidsmatrices.
(Symmetrie) Als $A$ equivalent met $B,$ is ook $B$ equivalent met $A,$ want $P$ en $Q$ zijn beide inverteerbaar, dus