Errorfunctie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Grafiek van de errorfunctie

De errorfunctie is een speciale functie in de wiskunde, die belangrijke toepassingen heeft binnen de kansrekening en de natuurkunde. De functie is gedefinieerd als:

\mbox{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm dt.

De errorfunctie is een antisymmetrische functie:

\mbox{erf}(-x)=-\mbox{erf}(x)\;.

Verder geldt: \mbox{erf}(0)=0\; en \lim\limits_{x\rightarrow\infty}\mbox{erf}(x)=1.

Men kan bewijzen dat de errorfunctie voorgesteld wordt door de volgende reekssom:

\mbox{erf}(x) =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^{+ \infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{n!(2n+1)}

De gegeneraliseerde errorfunctie wordt gegeven door:

\mbox{erf}(x,y)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{y}e^{-t^{2}}\,\mathrm dt.

De complementaire errorfunctie wordt gegeven door:

\mbox{erfc}(x)=1-\mbox{erf}(x)\;.

De imaginaire errorfunctie wordt gegeven door:

\mbox{erfi}(x)=\frac{\mbox{erf}(i\cdot{x})}{i}.