Euler-lagrange-vergelijking

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de variatierekening is de euler-lagrange-vergelijking (of lagrange-vergelijking) een differentiaalvergelijking, waarvan de oplossingen functies zijn, waarvoor een gegeven functionaal stationair is. De vergelijking werd in de jaren 1750 opgesteld door de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler en de Italiaans-Franse wiskundige Joseph Louis Lagrange.

Omdat een differentieerbare functionaal stationair is op haar lokale maxima en minima, is de euler-lagrange-vergelijking bruikbaar bij het oplossen van optimaliseringsproblemen, waarin men, gegeven een bepaalde functionaal, de minimaliserende (of maximaliserende) functie zoekt. Dit is analoog aan Fermats stationaire punten stelling in de analyse, die stelt dat wanneer een differentieerbare functie zijn lokale extremen bereikt, haar afgeleide gelijk is aan nul.

In de lagrangiaanse mechanica wordt de evolutie van een natuurkundig systeem, vanwege het principe van Hamilton van stationaire actie, voor de actie van dit systeem beschreven door de oplossingen van de euler-lagrange-vergelijking. In de klassieke mechanica is de euler-lagrangevergelijking gelijk aan de bewegingswetten van Newton, maar heeft de vergelijking het voordeel dat zij in elk systeem van gegeneraliseerde coördinaten dezelfde vorm aanneemt.

Definitie[bewerken]

De euler–lagrange-vergelijking is een vergelijking, waaraan wordt voldaan door een functie q van een reëel argument t, dat een stationair punt van de functionaal

\displaystyle S(q) = \int_a^b L(t,q(t),q'(t))\, \mathrm{d}t

is, waar:

  • q de functie is, die moet worden gevonden:
    \begin{align}
q \colon [a, b] \subset \mathbb{R} & \to     X \\
                                 t & \mapsto x = q(t)
\end{align}
zodat q differentieerbaar is; q(a) = xa en q(b) = xb; en
  • q′ de afgeleide van q is:
    \begin{align}
q' \colon [a, b] & \to     T_{q(t)}X \\
               t & \mapsto v = q'(t)
\end{align}

en waar

TX de raakbundel van X is (de ruimte van mogelijke waarden van afgeleiden van functies met waarden in X);

De euler–lagrange-vergelijking bestaat hier uit de gewone differentiaalvergelijking

L_x(t,q(t),q'(t))-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}L_v(t,q(t),q'(t)) = 0

waar Lx en Lv de partiële afgeleiden van L met betrekking tot het tweede en derde argument weergeven.

Als de dimensie van de ruimte X groter is dan 1, is dit een systeem van differentiaalvergelijkingen, eentje voor elke component:

\frac{\partial L(t,q(t),q'(t))}{\partial x_i}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L(t,q(t),q'(t))}{\partial v_i} = 0
\quad \text{voor } i = 1, \dots, n