Eulergetal (getaltheorie)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de getaltheorie binnen de wiskunde, is een Eulergetal En een geheel getal in de reeks, gedefinieerd door de volgende maclaurinreeks–ontwikkeling:

\operatorname{sech}(t)=\frac{1}{\cosh (t)} = \frac{2}{e^{t} + e^ {-t} } = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{E_n}{n!} \cdot t^n\!

met cosh(t) de cosinus hyperbolicus en sech(t) de secans hyperbolicus, beide hyperbolische functies. De Eulergetallen zijn de waarde van de overeenkomende Eulerpolynoom, bij argument een half (½).

De oneven Eulergetallen zijn allemaal gelijk aan nul. De opeenvolgende Eulergetallen met een even index hebben een wisselend (alternerend) teken [1]. De eerste waarden uit de reeks zijn:

E0 = 1
E2 = −1
E4 = 5
E6 = −61
E8 = 1.385
E10 = −50.521
E12 = 2.702.765
E14 = −199.360.981
E16 = 19.391.512.145
E18 = −2.404.879.675.441

Sommige auteurs hernummeren de reeks, om de oneven Eulergetallen met waarde nul kwijt te raken, en/of veranderen de schrijfwijze van de reeks zodanig dat alle tekens positief worden. Hier wordt de hierboven gebruikte conventie aangehouden (Abramowitz en Stegun, 1972).

De Eulergetallen komen onder andere voor in de maclaurinreeks–ontwikkelingen van de secans– en secans–hyperbolicus–functies. De laatstgenoemde is de functie die voorkomt in de bovenstaande definitie. Deze functies komen ook voor in de combinatoriek; onder andere bij de alternerende permutatie.

De Eulergetallen zijn vernoemd naar Leonhard Euler (1707-1783).

Zie ook[bewerken]

Andere grootheden, vernoemd naar Leonhard Euler, zijn:

Bronnen, noten en/of referenties
  1. rij A000364 in OEIS