Evolute

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De blauwe kromme is een ellips. De rode punten geven verschillende plaatselijke krommingsmiddelpunten weer; samen vormen ze de evolute van de ellips.

In de vlakke meetkunde noemt men de evolute van een gladde kromme, de meetkundige plaats (verzameling) van alle plaatselijke krommingsmiddelpunten van die kromme.

Als C een gladde kromme is met snelheid en kromtestraal overal verschillend van 0 en oneindig, en is E de evolute van C, dan is C een evolvente van E. Omgekeerd geldt dat de evolute van een evolvente, terug de oorspronkelijke kromme is.

Extreme waarden[bewerken]

Als de kromtestraal van C een gewoon lokaal minimum of maximum bereikt, dan heeft de evolute van C een singulier punt dat er uitziet als een doorn (Eng. cusp).

Als C een gladde convexe gesloten kromme is met overal eindige kromtestraal (in het bijzonder, geen rechte stukken), en p is een punt van het vlak dat niet op de evolute van C ligt, dan heeft de afstand van C tot p een eindig aantal lokale minima, en dit aantal is gelijk aan één plus (de absolute waarde van) het windingsgetal van de evolute van C omheen p.

Voorbeeld[bewerken]

In de ellipsfiguur hierboven bereikt de kromtestraal vier lokale extrema, telkens op de snijpunten met de assen. Daarmee komen vier singuliere punten op de evolute overeen, in de figuur zichtbaar als scherpe uitsteeksels. De punten van het vlak die binnen de evolute liggen, hebben twee lokale minima voor de afstand tot de ellips. De punten die buiten de evolute liggen, hebben slechts één zo'n lokaal minimum. De evolute van de parabool is de semikubische parabool.

Formules[bewerken]

De formules voor de evolute zijn te vinden in het artikel over het krommingsmiddelpunt.