Exponentiële groei

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Grafiek met 3 curves. Rood lineaire groei, blauw kwadratische groei en groen exponentiële groei

Exponentiële groei is een wiskundige term die een toename aangeeft evenredig aan de eigen omvang. Iedere grootheid die elk jaar (of elke maand, dag, uur, etc.) met hetzelfde percentage groeit, ondergaat een exponentiële groei. Zo is de groei van een populatie waarin het aantal geboortes per individu (of per echtpaar) constant blijft, evenredig met het aantal individuen, en dus exponentieel. Banktegoeden met een vast rentepercentage vertonen exponentiële groei (afgezien natuurlijk van af- of bijschrijvingen). Exponentiele daling is ook mogelijk, bijvoorbeeld bij afkoeling van een heet voorwerp tot de omgevingstemperatuur.

Verkeerd gebruik[bewerken]

De term exponentiële groei wordt soms verkeerd gebruikt als iemand alleen een snelle groei bedoelt.

Wiskundige beschrijving[bewerken]

Als x een grootheid is die exponentieel groeit in de tijd t, geldt per definitie dat de groeisnelheid dx/dt voldoet aan de volgende differentiaalvergelijking:

\!\,\frac{dx}{dt} = k x

Hierin is k de evenredigheidsconstante die altijd > 0 dient te zijn. Als k < 0 wordt gesproken van exponentiële afname, zoals bij de demping van trillingen en bij radioactief verval.

De oplossing van de differentiaalvergelijking is de exponentiële functie

\!\,x(t)=x_0\,e^{kt},

waarin de constante x_0 wordt bepaald door de oorspronkelijk omvang van de populatie.

Op de lange termijn zal een exponentiële groei elke vorm van lineaire groei overschrijden. Dit is ook de basis van de theorie van de overbevolking van het Malthusianisme. Een exponentiële groei zal zelfs sneller gaan dan elke groei volgens een polynoom. In wiskundige termen geldt voor elke waarde van α:

\lim_{x\to\infty} {x^\alpha \over Ce^x} =0

Er bestaan ook groeimodellen die op de lange termijn langzamer zijn dan de exponentiële groei, maar sneller dan de lineaire groei. Ook zijn er groeiscenario’s denkbaar die sneller zijn dan de exponentiële.

Voorbeelden van exponentiële groei[bewerken]

  • Investeren/sparen/lenen. Een constant rendement en een constante voet van samengestelde rente zonder bijstorten en zonder opnemen/bijlenen/aflossen, waarbij ook geen rente wordt ontvangen/betaald, betekent exponentiële groei van het vermogen.
  • Biologie
    • Bacteriën in een kweekschaal zullen exponentieel groeien, totdat het beschikbare voedsel is uitgeput.
    • Een nieuw virus (zoals SARS bijvoorbeeld) zal zich exponentieel uitbreiden, omdat elke persoon een veelvoud van nieuwe personen kan infecteren. Dit gaat door, totdat een groot deel van de populatie is besmet.
    • De menselijke bevolking onder bepaalde omstandigheden.
  • Natuurkunde
    • Een kernreactie zoals in een kernwapen. Elk uraniumatoom dat splijt produceert neutronen, die elk worden geabsorbeerd door naburige uranium atomen, die op hun beurt gaan splijten. Dit kan in de hand gehouden worden in een kernreactor door het grootste deel van de neutronen af te vangen.
    • Een ongedempte trilling met een constante aandrijvingskracht zal een exponentieel toenemende amplitudo vertonen.
    • Laden (en ontladen) van een condensator.
    • Opwarmen (of koelen) T=Ae^{-kt}\, waarin T de temperatuur, t de tijd en A and k > 0 constanten.
    • Radioactief verval. De hoeveelheid van de radioactieve stof neemt in de tijd af als A(t)=A_0 e^{-t/\tau}\, met τ de vervaltijd.
  • Computers: De wet van Moore stelt dat de rekenkracht van processoren een exponentiële groei vertoont.

Grafische weergave[bewerken]

Op logaritmisch papier wordt exponentiële groei weergegeven als rechte lijn.

Zie ook[bewerken]