F-verdeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
F-verdeling
Kansdichtheid
kansdichtheidsfunctie
Verdelingsfunctie
Cumulatieve distributiefunctie
Parameters m>0,\ n>0 vrijheidsgraden
Drager x \in [0;\infty)\!
Kansdichtheid \frac{\sqrt{\frac{(m\,x)^{m}\,\,n^{n}}{(m\,x+n)^{m+n}}}}
{x\,\mathrm{B}\!\left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)}\!
Verdelingsfunctie I_{\frac{m x}{m x + n}}(m/2, n/2)\!
Verwachtingswaarde \frac{n}{n-2}\! als n > 2
Modus \frac{m-2}{m}\;\frac{n}{n+2}\! als m > 2
Variantie \frac{2\,n^2\,(m+n-2)}{m (n-2)^2 (n-4)}\! als n > 4
Scheefheid \frac{(2 m + n - 2) \sqrt{8 (n-4)}}{(n-6) \sqrt{m (m + n -2)}}\!
als n > 6
Moment-
genererende functie
bestaat niet
Portaal  Portaalicoon   Wiskunde

De F-verdeling, genoemd naar Sir R.A. Fisher, is een kansverdeling die afgeleid is van de normale verdeling en die voornamelijk gebruikt wordt in de statistiek. De F-verdeling is de verdeling van het quotiënt van twee onderling onafhankelijke chi-kwadraatverdeelde grootheden. Hij vindt vooral toepassing in de variantie-analyse als verdeling van de toetsingsgrootheid van de F-toets.

De F-verdeling met m vrijheidsgraden in de teller en n vrijheidsgraden in de noemer is gedefinieerd als de verdeling van:

F=\frac{\chi_m^2/m}{\chi_n^2/n},

waarin \chi_m^2 en \chi_n^2 onderling onafhankelijke stochastische variabelen zijn, die beide chi-kwadraatverdeeld zijn met respectievelijk m en n vrijheidsgraden.

Als S_1^2 en S_2^2 respectievelijk de steekproefvarianties zijn van de eerste m en de laatste n van m+n onderling onafhankelijke normaal verdeelde variabelen Z_1, \dots , Z_{m+n}, dan heeft de grootheid

F=\frac{S_1^2}{S_2^2}

een F-verdeling met m-1 en n-1 vrijheidsgraden. Dit volgt direct uit de definitie van de F-verdeling, omdat de steekproefvariantie van een aantal onderling onafhankelijke normaal verdeelde variabelen chi-kwadraatverdeeld is.

Kansdichtheid[bewerken]

De formule van de kansdichtheid f_{m,n} wordt voor x>0 gegeven door:

f_{m,n}(x)=
\frac{ \Gamma(\frac{m+n}{2}) } { \Gamma(\frac{m}{2}) \Gamma(\frac{n}{2}) }
\frac{ (\frac{m}{n})^{m/2}x^{m/2-1} } {(1+\frac{m}{n}x)^{(m+n)/2}}

Verwachtingswaarde[bewerken]

De verwachtingswaarde is

\frac{n}{n-2},

deze bestaat dus voor n>2.

Variantie[bewerken]

De variantie is

2\left(\frac{n}{n-2}\right)^2\frac{m+n-2}{m(n-4)},

deze bestaat voor n>4.