F-verdeling

F-verdeling
Kansdichtheid
Verdelingsfunctie
Parameters	$m>0,\ n>0$ vrijheidsgraden
Drager	$x \in [0;\infty)\!$
Kansdichtheid	$\frac{\sqrt{\frac{(m\,x)^{m}\,\,n^{n}}{(m\,x+n)^{m+n}}}} {x\,\mathrm{B}\!\left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)}\!$
Verdelingsfunctie	$I_{\frac{m x}{m x + n}}(m/2, n/2)\!$
Verwachtingswaarde	$\frac{n}{n-2}\!$ als $n > 2$
Modus	$\frac{m-2}{m}\;\frac{n}{n+2}\!$ als $m > 2$
Variantie	$\frac{2\,n^2\,(m+n-2)}{m (n-2)^2 (n-4)}\!$ als $n > 4$
Scheefheid	$\frac{(2 m + n - 2) \sqrt{8 (n-4)}}{(n-6) \sqrt{m (m + n -2)}}\!$ als $n > 6$
Moment- genererende functie	bestaat niet
Portaal    Wiskunde

De F-verdeling, genoemd naar Sir R.A. Fisher, is een kansverdeling die afgeleid is van de normale verdeling en die voornamelijk gebruikt wordt in de statistiek. De F-verdeling is de verdeling van het quotiënt van twee chi-kwadraat verdeelde grootheden. Hij vindt vooral toepassing in de variantie-analyse als verdeling van de toetsingsgrootheid van de F-toets.

De F-verdeling met m vrijheidsgraden in de teller en n vrijheidsgraden in de noemer is gedefinieerd als de verdeling van:

$F=\frac{\chi_m^2/m}{\chi_n^2/n}$,

waarin $\chi_m^2$ en $\chi_n^2$ onderling onafhankelijke stochastische variabelen zijn, die beide chi-kwadraat verdeeld zijn met respectievelijk m en n vrijheidsgraden.

Als $S_1^2$ en $S_2^2$ respectievelijk de steekproefvarianties zijn van de eerste m en de laatste n van m+n onderling onafhankelijke normaal verdeelde variabelen $Z_1, \dots , Z_{m+n}$, dan heeft de grootheid

$F=\frac{S_1^2}{S_2^2}$

een F-verdeling met $m-1$ en $n-1$ vrijheidsgraden. Dit volgt direct uit de definitie van de F-verdeling, omdat de steekproefvariantie van een aantal onderling onafhankelijke normaal verdeelde variabelen chi-kwadraat verdeeld is.

Kansdichtheid

De formule van de kansdichtheid $f_{m,n}$ wordt voor $x>0$ gegeven door:

$f_{m,n}(x)= \frac{ \Gamma(\frac{m+n}{2}) } { \Gamma(\frac{m}{2}) \Gamma(\frac{n}{2}) } \frac{ (\frac{m}{n})^{m/2}x^{m/2-1} } {(1+\frac{m}{n}x)^{(m+n)/2}}$

Verwachtingswaarde

De verwachtingswaarde is

$\frac{n}{n-2},$

deze bestaat dus voor $n>2$.

Variantie

De variantie is

$2\left(\frac{n}{n-2}\right)^2\frac{m+n-2}{m(n-4)},$

deze bestaat voor $n>4$.