Figuratief getal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een figuratief getal is een natuurlijk getal dat gebaseerd is op een meetkundige figuur. Als deze meetkundige figuur opbouwt met bijvoorbeeld knikkers, is het benodigde aantal knikkers het figuratieve getal.

Definitie[bewerken]

Een figuratief getal is een getal dat weergegeven kan worden als discrete r-dimensionale regelmatige meetkundige figuur, zoals veelhoeksgetallen (voor r = 2) of polyhedrale getallen (voor r = 3). Voorbeelden van veelhoeksgetallen zijn kwadraatgetallen en driehoeksgetallen. Voorbeelden van polyhedrale getallen zijn kubusgetallen en piramidegetallen.

Terminologie[bewerken]

De figuratieve getallen kunnen op verschillende manieren worden veralgemeend. Zoals hier en op een aantal andere plaatsen gebruikt, wordt de term figuratief getal in een ruime zin gebruikt.

In historische werken over de Oud-Griekse wiskunde is de voorkeursterm figure number (figuurgetal). Voorbeelden zijn "A history of Greek Mathematics" door Thomas Heath en "Greek Mathematical Philosophy" door E.A. Maziarz.

In een gebruik dat teruggaat tot Jakob Bernoulli's Ars Conjectandi, wordt de term figuratief getal gebruikt voor driehoeksgetallen die worden geconstrueerd uit opeenvolgende gehele getallen, tetraëdergetallen die bestaan uit opeenvolgende driehoeksgetallen, enzovoort: met andere woorden binomiaalcoëfficiënten. In dit gebruik van deze term worden de kwadratische getallen 4, 9, 16, 25 niet als figuratieve getallen beschouwd, wanneer zij als een vierkant worden bekeken. Dit is de zin waarin L.E. Dickson de term gebruikte in zijn History of the Theory of Numbers.

Enkele andere bronnen gebruiken de term figuratief getal als een synoniem voor de veelhoeksgetallen, ofwel gewoon de gebruikelijke soort of zowel deze als ook gecentreerde veelhoeksgetallen.

Driehoeksgetallen[bewerken]

De driehoeksgetallen voor n = 1, 2, 3, ... zijn het resultaat van de nevenschikking van de lineaire getallen (lineaire gnomons) voor n = 1, 2, 3, ...:

* *
**
*
**
***
*
**
***
****
*
**
***
****
*****
*
**
***
****
*****
******

Dit zijn de binomiaalcoëfficiënten  n+1 \choose 2 , die op hun beurt weer 2e diagonaal van de driehoek van Pascal vormen.

De diagonalen van de driehoek van Pascal bestaan uit de figuratieve getallen voor de meerdimensionale analoga van driehoekige simplices.

De simpliciale polytope getallen voor r = 1, 2, 3, 4, ... zijn:

...

De termen kwadraatgetal en kubusgetal worden ontleend aan hun meetkundige representatie als een vierkant of kubus. Het verschil tussen twee positieve driehoeksgetallen is een driehoekig beleefd getal.