Finale topologie

De finale topologie is de fijnste topologische structuur die een collectie afbeeldingen naar een gegeven verzameling continu maakt. Het is een begrip uit de tak van de wiskunde die topologie heet.

Finale topologie van een afbeelding

Zij $f:X\to Y$ een afbeelding van een topologische ruimte $X$ naar een verzameling $Y$. We zouden graag de verzameling $Y$ van een topologische structuur voorzien die ervoor zorgt dat de afbeelding $f$ continu is, dat wil zeggen dat het inverse beeld van een open verzameling van $Y$ steeds een open verzameling van $X$ is.

In het algemeen bestaan er verscheidene dergelijke topologieën, maar slechts één ervan is de grootste of fijnste in de zin dat ze zo veel mogelijk open verzamelingen bevat. Als $\mathcal{T}$ de topologie van $X$ is, dan is de grootste topologie op $Y$ waarvoor de afbeelding $f$ continu is

$\{U\subset Y|f^{-1}(U)\in\mathcal{T}\}$

Voorbeelden

Zij $(X,\mathcal{T})=\mathbb{R}$ met de gewone topologie, en $Y=\mathbb{R}$.

De afbeelding $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}:x\mapsto x$ induceert terug de gewone topologie op $\mathbb{R}$.

De afbeelding $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}:x\mapsto x^2$ induceert een grotere topologie op $\mathbb{R}$ door aan de 'gewone' open verzamelingen alle singletons van negatieve getallen en alle halfopen intervallen van de vorm $[0,r)$ toe te voegen (plus willekeurige verenigingen).

De constante afbeelding $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}:x\mapsto1$ induceert de discrete topologie $2^\mathbb{R}$, waarin alle deelverzamelingen van $\mathbb{R}$ open zijn.

Zij $(X,\mathcal{T})$ een topologische ruimte en zij $\mathcal{P}$ een partitie van $X$. Noteer $\pi:X\to\mathcal{P}$ voor de afbeelding die met ieder element $x$ zijn partitieklasse associeert. De finale topologie van $\pi$ maakt van $\mathcal{P}$ een topologische ruimte, die men de quotiënttopologie noemt.

Finale topologie van een familie afbeeldingen

We passen dezelfde techniek toe op een oneindig aantal afbeeldingen $f_i$, eventueel vanuit verschillende topologische ruimten $(X_i,\mathcal{T}_i)$ ($i\in I)$. De indexverzameling $I$ mag zelfs overaftelbaar zijn.

De grootste (fijnste) topologie op de verzameling $Y$ waarvoor alle afbeeldingen $f_i$ continu zijn, is

$\{U\subset Y|\forall i\in I,f_i^{-1}(U)\in\mathcal{T}_i\}$

Initiale topologie

Door de rollen van $X$ en $Y$ te verwisselen ontstaat het verwante begrip initiale topologie.