Formule van Euler

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
1rightarrow.png Dit artikel gaat over de formule van Euler in de complexe analyse. Zie de Formule van Euler voor veelvlakken voor de relatie tussen hoekpunten, ribben en zijvlakken van regelmatige veelvlakken.
locatie exp(i φ)

De formule van Euler, genoemd naar haar ontdekker, de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler, legt een verband tussen de goniometrische functies en de complexe exponentiele functie. De formule zegt dat voor elk reëel getal x geldt dat:

e^{ix}=\cos(x)+i\cdot \sin(x).

Daarbij is e het grondtal van het natuurlijke logaritme, i de imaginaire eenheid, en zijn cos en sin respectievelijk de goniometrische functies cosinus en sinus met het argument in radialen. De formule geldt ook voor complexe waarden van x.

Deze gelijkheid kan men onderbouwen door te stellen dat de taylorreeksen van beide vergelijkingen hetzelfde zijn.

e^{ix}=\sum_{k=0}^{\infin}{\frac{(ix)^k}{k!}}=\sum_{k=0}^{\infin}{(-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}} + i \cdot \sum_{k=0}^{\infin}(-1)^k{\frac{k^{2k+1}}{(2k+1)!}}.
= \cos(x) + i \cdot \sin(x).

Voor x = π ontstaat de zogenaamde identiteit van Euler:

\!e^{i\pi}+1=0.

Met behulp van de formule van Euler kunnen formules voor de sinus en de cosinus afgeleid worden:

\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}
\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}
Persoonlijke instellingen
Naamruimten
Varianten
Handelingen
Navigatie
Informatie
Hulpmiddelen
Afdrukken/exporteren
In andere talen