Formule van Euler

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Nuvola single chevron right.svg Dit artikel gaat over de formule van Euler in de complexe analyse. Zie de Formule van Euler voor veelvlakken voor de relatie tussen hoekpunten, ribben en zijvlakken van regelmatige veelvlakken.
locatie exp(i φ)

De formule van Euler, genoemd naar haar ontdekker, de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler, legt een verband tussen de goniometrische functies en de complexe exponentiele functie. De formule zegt dat voor elk reëel getal x geldt dat:

e^{ix}=\cos(x)+i\cdot \sin(x).

Daarbij is e het grondtal van het natuurlijke logaritme, i de imaginaire eenheid, en zijn cos en sin respectievelijk de goniometrische functies cosinus en sinus met het argument in radialen. De formule geldt ook voor complexe waarden van x.

Bewijs[bewerken]

Er zijn verschillende methodes om de formule van Euler te bewijzen.

Analytische methode[bewerken]

De formule van Euler is te bewijzen door middel van differentiëren. Hiertoe herschrijven we de formule eerst:

\frac{\cos(x) + i \cdot \sin(x)}{e^{ix}} = 1

We schrijven dit als een functie:

f(x) \equiv e^{-ix} \cdot (\cos(x) + i \cdot \sin(x))

Als we dit differentiëren krijgen we (Bij deze afleiding wordt gebruik gemaakt van de productregel):

\frac{df}{dx} = -i \cdot e^{-ix} \cdot (\cos(x) + i \cdot \sin(x)) + e^{-ix} \cdot (-\sin(x) + i \cdot \cos(x) )
 = e^{-ix} \cdot (\sin(x) - i \cdot \cos(x)) + e^{-ix} \cdot (-\sin(x) + i \cdot \cos(x) )
 = e^{-ix} \cdot 0 = 0

De afgeleide is dus 0. Dit betekent dat de functie constant is:

f(x) = e^{-ix} \cdot (\cos(x) + i \cdot \sin(x)) = C

Dus:

\cos(x) + i\cdot \sin(x) = C \cdot e^{ix}

We kennen echter de waarde voor het geval dat x = 0, namelijk:

\cos(0) + i \cdot \sin(0) = C \cdot e^{i\cdot 0}
1 + 0 = C \cdot 1

Hieruit volgt dat C = 1 en dus zien we dat inderdaad e^{ix} = \cos(x) + i \cdot \sin(x).

Taylorreeks[bewerken]

De gelijkheid kan men ook bewijzen door te stellen dat de taylorreeksen van beide vergelijkingen hetzelfde zijn.

e^{ix}=\sum_{k=0}^{\infin}{\frac{(ix)^k}{k!}}=\sum_{k=0}^{\infin}{(-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}} + i \cdot \sum_{k=0}^{\infin}(-1)^k{\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}}
\cos(x) + i \cdot \sin(x) = \sum_{k=0}^{\infin}{(-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}} +  i \cdot \sum_{k=0}^{\infin}(-1)^k{\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}}

Identiteit van Euler[bewerken]

Voor x=\pi ontstaat de zogenaamde identiteit van Euler:

e^{i\pi}+1=0

Of in een andere vorm:

e^{i\pi} = -1

Formules sinus en cosinus[bewerken]

Met behulp van de formule van Euler kunnen formules voor de sinus en de cosinus afgeleid worden:

\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}
\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}