Formule van Euler

locatie exp(i φ)

De formule van Euler, genoemd naar haar ontdekker, de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler, legt een verband tussen de goniometrische functies en de complexe exponentiele functie. De formule zegt dat voor elk reëel getal x geldt dat:

$e^{ix}=\cos(x)+i\cdot \sin(x).$

Daarbij is e het grondtal van het natuurlijke logaritme, i de imaginaire eenheid, en zijn cos en sin respectievelijk de goniometrische functies cosinus en sinus met het argument in radialen. De formule geldt ook voor complexe waarden van x.

Deze gelijkheid kan men onderbouwen door te stellen dat de taylorreeksen van beide vergelijkingen hetzelfde zijn.

$e^{ix}=\sum_{k=0}^{\infin}{\frac{(ix)^k}{k!}}=\sum_{k=0}^{\infin}{(-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}} + i \cdot \sum_{k=0}^{\infin}(-1)^k{\frac{k^{2k+1}}{(2k+1)!}}.$

$= \cos(x) + i \cdot \sin(x).$

Voor x = π ontstaat de zogenaamde identiteit van Euler:

$\!e^{i\pi}+1=0.$

Met behulp van de formule van Euler kunnen formules voor de sinus en de cosinus afgeleid worden:

$\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$

$\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$