Formule van Euler

locatie exp(i φ)

De formule van Euler, genoemd naar haar ontdekker, de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler, legt een verband tussen de goniometrische functies en de complexe exponentiele functie. De formule zegt dat voor elk reëel getal x geldt dat:

$e^{ix}=\cos(x)+i\cdot \sin(x).$

Daarbij is e het grondtal van het natuurlijke logaritme, $i$ de imaginaire eenheid, en zijn cos en sin respectievelijk de goniometrische functies cosinus en sinus met het argument in radialen. De formule geldt ook voor complexe waarden van $x$.

Bewijs

Er zijn verschillende methodes om de formule van Euler te bewijzen.

Analytische methode

De formule van Euler is te bewijzen door middel van differentiëren. Hiertoe herschrijven we de formule eerst:

$\frac{\cos(x) + i \cdot \sin(x)}{e^{ix}} = 1$

We schrijven dit als een functie:

$f(x) \equiv e^{-ix} \cdot (\cos(x) + i \cdot \sin(x))$

Als we dit differentiëren krijgen we (Bij deze afleiding wordt gebruik gemaakt van de productregel):

$\frac{df}{dx} = -i \cdot e^{-ix} \cdot (\cos(x) + i \cdot \sin(x)) + e^{-ix} \cdot (-\sin(x) + i \cdot \cos(x) )$

$= e^{-ix} \cdot (sin(x) - i \cdot cos(x)) + e^{-ix} \cdot (-\sin(x) + i \cdot cos(x) )$

$= e^{-ix} \cdot 0 = 0$

De afgeleide is dus 0. Dit betekent dat de functie constant is:

$f(x) = e^{-ix} \cdot (\cos(x) + i \cdot \sin(x)) = C$

Dus:

$\cos(x) + i\cdot \sin(x) = C \cdot e^{ix}$

We kennen echter de waarde voor het geval dat $x = 0$, namelijk:

$\cos(0) + i \cdot \sin(0) = C \cdot e^{i\cdot 0}$

$1 + 0 = C \cdot 1$

Hieruit volgt dat $C = 1$ en dus zien we dat inderdaad $e^{ix} = \cos(x) + i \cdot \sin(x)$.

Taylorreeks

De gelijkheid kan men ook bewijzen door te stellen dat de taylorreeksen van beide vergelijkingen hetzelfde zijn.

$e^{ix}=\sum_{k=0}^{\infin}{\frac{(ix)^k}{k!}}=\sum_{k=0}^{\infin}{(-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}} + i \cdot \sum_{k=0}^{\infin}(-1)^k{\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}}$

$\cos(x) + i \cdot \sin(x) = \sum_{k=0}^{\infin}{(-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}} + i \cdot \sum_{k=0}^{\infin}(-1)^k{\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}}$

Identiteit van Euler

Voor $x=\pi$ ontstaat de zogenaamde identiteit van Euler:

$e^{i\pi}+1=0$

Of in een andere vorm:

$e^{i\pi} = -1$

Formules sinus en cosinus

Met behulp van de formule van Euler kunnen formules voor de sinus en de cosinus afgeleid worden:

$\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$

$\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$