Formule van Newton-Cotes

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Formule van Newton-Cotes voor n=2

Een formule van Newton-Cotes, genoemd naar de bedenkers Isaac Newton en Roger Cotes, is een formule voor de numerieke benadering van een integraal als gewogen som van functiewaarden in equidistante punten. De basisgedachte daarbij is de integrand te benaderen door een polynoom en het benaderende polynoom exact te integreren.

Definitie[bewerken]

Gegeven is de op het interval [a,b] integreerbare functie f. Het interval wordt opgedeeld in n deelintervallen van gelijke lengte, de stapgrootte h,

h=\frac{b-a}{n}

door:

a \leq x_0 < x_1 < \ldots < x_n \leq b

Het getal n heet de orde van de benadering. De functie f wordt benaderd met behulp van de bij de opdeling behorende Lagrange-polynomen \ell_idoor:

f(x)\approx P(x) = \sum_{i=0}^n \ell_i(x)f(x_i).

De benadering voor de integraal van f over [a,b] is:

\int_a^bf(x)dx \approx \int_a^bP(x)dx = \int_a^b\sum_{i=0}^n \ell_i(x)f(x_i)dx=\sum_{i=0}^n \int_a^b\ell_i(x)dxf(x_i)=\sum_{i=0}^n w_if(x_i),

dus als gewogen som van de functiewaarden in de deelpunten, met als gewichtsfactoren:

w_i = \int_a^b \ell_i(x) dx\,

In deze definitie worden de eindpunten a en b in de benadering meegenomen: we spreken van een gesloten formule. Op analoge wijze kunnen ook zogenaamde open formules afgeleid worden, waarin de eindpunten a en b geen deelpunten zijn. Er zijn daarvoor verschillende methoden in gebruik. Sommige gebruiken de punten x1, ..., xn-1 zoals boven, andere kiezen

x_1=a+\begin{matrix}\frac 12 \end{matrix}h, x_2 = x_1+h, \ldots, x_n=x_{n-1}+h=b-\begin{matrix}\frac 12 \end{matrix}h.


In de tabel staan voor de gesloten formules de genormeerde gewichtsfactoren:

\omega_i = \frac{w_i}{b-a}=\frac{w_i}{nh}\,.
orde
n
methode
 
gewichtsfactoren
ωi
1 trapeziumregel \frac{1}{2} \quad \frac{1}{2}
2 regel van Simpson \frac{1}{6} \quad \frac{4}{6} \quad \frac{1}{6}
3 3/8 - regel \frac{1}{8} \quad \frac{3}{8} \quad \frac{3}{8} \quad \frac{1}{8}
4 regel van Boole \frac{7}{90} \quad \frac{32}{90} \quad \frac{12}{90} \quad \frac{32}{90} \quad \frac{7}{90}
5 \frac{19}{288} \quad \frac{75}{288} \quad \frac{50}{288} \quad \frac{50}{288} \quad \frac{75}{288} \quad \frac{19}{288}
6 \frac{41}{840} \quad \frac{216}{840} \quad \frac{27}{840} \quad \frac{272}{840} \quad \frac{27}{840} \quad \frac{216}{840} \quad \frac{41}{840}

Opmerking[bewerken]

De regel van Boole wordt ook wel regel van Bode genoemd. Dit berust op een typefout uit het verleden waarbij Boole gelezen is als Bode.


De gewichtsfactoren voor hogere ordes zijn:

41 216 27 272 27 216 41 / 840
751 3577 1323 2989 2989 1323 3577 751 / 17280
989 5888 -928 10496 -4540 10496 -928 5888 989 /28350
2857 15741 1080 19344 5778 5778 19344 1080 15741 2857 / 89600

De oneven rijen hebben een lagere graad van algebraïsche nauwkeurigheid dan de even rijen. De hogere even rijen hebben negatieve coëfficiënten, wat de afrondingsfouten verhoogt. De regel van Simpson wordt verreweg het meest toegepast, vooral omdat hij eenvoudig is en toch redelijk nauwkeurig.

Voor een nauwkeurige benadering is het enerzijds van belang de orde van de benadering laag te kiezen en anderzijds dat de integrand niet te veel verandert over de deelintervallen. Deze eisen zijn tegenstrijdig, zodat men het integratiegebied wel opdeelt in subintervallen en in elk subinterval weer een lage orde benadering bepaalt. Voorbeelden hiervan zijn de regel van Milne en de regel van Weddle.

Berekening van de gewichten[bewerken]

Aan een voorbeeld is goed te zien hoe de gewichtsfactoren berekend worden. Zonder de algemeenheid te schaden kiezen we a = 0 en b = 1. We bekijken het geval n = 3, dus h = 1/3.

\ell_0(x)= -\frac 92 (x-h)(x-2h)(x-1) \,
\ell_1(x)= \frac {27}2 x(x-2h)(x-1) \,
\ell_2(x)= -\frac {27}2 x(x-h)(x-1) \,
\ell_3(x)= \frac 92 x(x-h)(x-2h) \,
w_0 = \int_0^1 \ell_0(x) dx= -\frac 92 \int_0^1 (x-h)(x-2h)(x-1) dx =\frac 18
w_1 = \int_0^1 \ell_1(x) dx= \frac {27}2 \int_0^1 x(x-2h)(x-1) dx =\frac 38
w_2 = \int_0^1 \ell_2(x) dx= -\frac {27}2 \int_0^1 x(x-h)(x-1) dx =\frac 38
w_3 = \int_0^1 \ell_3(x) dx= \frac 92 \int_0^1 x(x-h)(x-2h) dx =\frac 18

Voorbeeld[bewerken]

We benaderen de oppervlakte van een kwart cirkel boven de x-as, om 0 en met straal 1. We kiezen n = 4 en berekenen:

\int_{0}^1f(x)dx=\int_{0}^1\sqrt{1-x^2}dx \approx w_0f(0)+w_1f(.25)+w_2f(.5)+w_3f(.75)+w_4f(1)=
\frac 1{90}\left(7\cdot 1+32\cdot \frac{\sqrt 15}{4}+12\cdot \frac{\sqrt 3}{2}+32\cdot \frac{\sqrt 7}{4}+7\cdot 0\right)= \frac{7+8\sqrt 15+6\sqrt 3+8\sqrt 7}{90}=0{,}773

Vergelijk het resultaat met de exacte waarde:

\int_{0}^1\sqrt{1-x^2}dx=\frac {\pi}4 \approx 0{,}785