Formule van Stewart

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De formule van Stewart

De Formule van Stewart is een formule die gebruikt kan worden om de lengte van een hoektransversaal in een driehoek te berekenen. Hij werd in 1746 door de Schotse wiskundige Matthew Stewart opgesteld, en is naar hem vernoemd alhoewel Archimedes hem vermoedelijk al kende.

De formule[bewerken]

Gegeven een driehoek ABC met de gebruikelijke a, b en c als lengtes van de zijden. Laat M een punt zijn op AB met

d=CM, x=AM, y=MB en dus c=x+y.

Dan luidt de formule van Stewart dat

cd^2 = xa^2 + yb^2 -cxy.

Bewijs[bewerken]

Men kan de formule afleiden met behulp van de cosinusregel. Nemen we \phi=\angle CMB dan geldt in de driehoeken PBC en PCA

  • a^2 = d^2 + y^2 - 2dy \cos \phi,
  • b^2 = d^2 + x^2 + 2dx \cos \phi.

Door x maal de eerste vergelijking op te tellen bij y maal de tweede vergelijking krijgen we de formule van Stewart.

Opmerking[bewerken]

De formule van Stewart is door de Nederlander Oene Bottema gegeneraliseerd voor een viervlak.

Literatuur[bewerken]

  • Bottema, O. De formule van Stewart voor een viervlak., Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde., 68/1980-81, 79-83.