Formules van Frenet-Serret

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Een ruimtekromme, de vectoren T, N en B; en de kromtestraal gespannen door T en N.

In de vectoranalyse beschrijven de formules van Frenet-Serret de kinematische eigenschappen van een deeltje dat zich langs een continue, differentieerbare ruimtekromme in de drie-dimensionale Euclidische ruimte R3 beweegt. Meer in het algemeen beschrijven de formules de afgeleiden van de zogenaamde tangentiële, normale en binormale eenheidsvectoren in termen van elkaar. De formules zijn vernoemd naar de twee Franse wiskundigen, die zij onafhankelijk van elkaar ontdekten: Jean Frédéric Frenet, in zijn proefschrift uit 1847, en Joseph Alfred Serret in 1851. De vectornotatie en lineaire algebra die momenteel worden gebruikt om deze formules op te schrijven, was op het ogenblik van de ontdekking van de formules van Frenet en Serret nog niet in gebruik.

De raaklijn, normale en binormale vectoren, ook wel T, N en B of collectievelijk het Frenet-Serret frame of het TNB frame genoemd, worden als volgt gedefinieerd:

De formules van Frenet-Serret zijn

 
\begin{matrix}
\frac{d\mathbf{T}}{ds} &=& & \kappa \mathbf{N} & \\
&&&&\\
\frac{d\mathbf{N}}{ds} &=& - \kappa \mathbf{T} & &+\, \tau \mathbf{B}\\
&&&&\\
\frac{d\mathbf{B}}{ds} &=& & -\tau \mathbf{N} &
\end{matrix}

waar d/ds de afgeleide met betrekking tot de booglengte, κ de kromming en τ de torsie van de krommen is. Deze formule definieert effectief de kromming en de torsie van een ruimtekromme.