Fréchet-verdeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Fréchet
Kansdichtheid|dichtheid
Verdelingsfunctie
Parameters \alpha \in (0,\infty] vormparameter
Drager \!x>0
[[Kansdichtheid|dichtheid]] \alpha \; x^{-1-\alpha} \; e^{-x^{-\alpha}}
Verdelingsfunctie e^{-x^{-\alpha}}
Verwachtingswaarde \Gamma\left(1-\tfrac{1}{\alpha}\right) \text{ voor } \alpha>1
Mediaan \left(\tfrac{1}{\log(2)}\right)^{1/\alpha}
Modus \left(\tfrac{\alpha}{1+\alpha}\right)^{1/\alpha}
Variantie \Gamma\left(1-\tfrac{2}{\alpha}\right)- \left(\Gamma\left(1-\tfrac{1}{\alpha}\right)\right)^2
voor α > 2
Portaal  Portaalicoon   Wiskunde

De Fréchet-verdeling is een kansverdeling die toepassing vindt als verdeling van een extreme waarde, zoals het maximum in een steekproef.

De verdeling is genoemd naar de Franse wiskundige Maurice Fréchet die een aanverwant artikel schreef in 1927, terwijl verder werk gedaan werd door Fisher en Tippet in 1928 en Gumbel in 1958.

Definitie[bewerken]

De standaardvorm van de Fréchet-verdeling is een kansverdeling met verdelingsfunctie gedefinieerd voor x>0 door:

F(x;\alpha)=e^{-x^{-\alpha}},

waarin α > 0 een vormparameter is.

Door hernormering ontstaat de Fréchet-verdeling met plaatsparameter μ en schaalparameter β>0, waarvan de verdelingsfunctie voor x>μ wordt gegeven door:

F(x;\alpha,\mu,\beta)=e^{-\left(\frac{x-\mu}{\beta}\right)^{-\alpha}}.