Gamma-verdeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Gamma
kansdichtheid
Kansdichtheid voor verschillende parameterinstellingen
Verdelingsfunctie
Cumulatieve kansdichtheid voor verschillende parameterinstellingen
Parameters k > 0\,
\theta > 0\,
Drager x \in [0; \infty)\!
kansdichtheid x^{k-1} \frac{\exp{\left(-x/\theta\right)}}{\Gamma(k)\,\theta^k}\,\!
Verdelingsfunctie \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}\,\!
Verwachtingswaarde k \theta\,\!
Modus (k-1) \theta\,\! als k \geq 1\,\!
Variantie k \theta^2\,\!
Scheefheid \frac{2}{\sqrt{k}}\,\!
Kurtosis \frac{6}{k}\,\!
Entropie k + \ln\theta + \ln\Gamma(k) \!
+ (1-k)\psi(k) \!
Moment-
genererende functie
(1 - \theta\,t)^{-k}\,\! als t < 1/\theta\,\!
Karakteristieke functie (1 - \theta\,i\,t)^{-k}\,\!
Portaal  Portaalicoon   Wiskunde

In de kansrekening en statistiek is de gamma-verdeling een continue kansverdeling, met twee parameters. De exponentiële verdeling en chi-kwadraatverdeling zijn specifieke gevallen van de gamma verdeling.

Definitie[bewerken]

De kansdichtheid van de gamma-verdeling is als volgt:

 f(x;k,\theta) = x^{k-1} \frac{e^{-x/\theta}}{\theta^k \, \Gamma(k)}
 \ \mathrm{als }\ x > 0 \,\!

waarbij \Gamma(k) de gammafunctie is (als k een geheel getal is, geldt dat \Gamma(k)=(k-1)!).

Eigenschappen[bewerken]

  • Als X een gamma(1,θ)-verdeling heeft, dan heeft X een exponentiële verdeling met parameter \lambda=1/\theta.
  • Als X een gamma(k,θ)-verdeling heeft, dan heeft cX een gamma(k, cθ)-verdeling, voor een willekeurige c > 0.
  • Als X1, ...,Xn onafhankelijk en identiek verdeeld zijn volgens de exponentiële verdeling met parameter λ, dan heeft X1+...+Xn een gamma(n, 1/λ)-verdeling.
  • De gamma(k,2)-verdeling is identiek aan χ2(2k); de chi-kwadraatverdeling met 2k vrijheidsgraden.

Toepassingen[bewerken]

De gamma-verdeling wordt vaak gebruikt wanneer er meerdere, onderling onafhankelijke, experimenten met een exponentiële verdeling in het spel zijn. Stel dat de wachttijd in minuten op de bus bij een halte een exponentiële verdeling met parameter λ = 10 volgt, dan is, onder bepaalde onafhankelijkheidsaannames, de wachttijd op de vijfde bus verdeeld volgens de gamma(5,1/10)-verdeling.