Gauss-Jordaneliminatie

Gauss-Jordaneliminatie is een uitbreiding van Gauss-eliminatie, een techniek waarmee een willekeurige matrix tot echelonvorm (trapvorm) kan worden teruggebracht. Met deze techniek kunnen onder andere lineaire vergelijkingen opgelost worden. De techniek bestaat net als bij Gauss-eliminatie uit bepaalde rijoperaties op de matrix. Het verschil met Gauss-eliminatie is dat de matrix niet alleen van boven naar onder wordt geveegd, waarbij de getallen onder de diagonaal 0 worden, maar ook van onder naar boven, zodat er uiteindelijk alleen getallen op de diagonaal overblijven.

Gauss-Jordaneliminatie is aanzienlijk minder efficiënt dan Gauss-eliminatie met terugsubstitutie bij het oplossen van een stelsel van lineaire vergelijkingen. De methode is echter uitstekend geschikt voor het berekenen van de inverse matrices.

De methode is genoemd naar Carl Friedrich Gauss en Wilhelm Jordan.

Berekenen van de inverse van een matrix

Gauss-Jordaneliminatie kan worden gebruikt om de inverse van een bepaalde matrix uit te rekenen. Voor deze inverse matrix geldt onder andere dat

$AA^{-1}=I\!$

met I een eenheidsmatrix en A een vierkante matrix. Door de vergelijking op te lossen met Gauss-Jordaneliminatie kan de inverse gevonden worden.

Gauss-Jordaneliminatie in software

Matlab

Softwareprogramma's zoals Matlab ondersteunen het Gauss-Jordaneliminatieproces. In Matlab kan een vergelijking

$Ax=B \,$

volgens Gauss-Jordan opgelost worden voor x met:

$x = A / B \,$

Een matrix A kan geveegd worden volgens Gauss-Jordan met het commando: rref(A). RREF staat voor Reduced Row Echelon Form.

De inverse

$B = A^{-1} \,$

van een matrix kan worden gevonden met het commando: B = A\eye(n), waarbij n het aantal rijen (en aantal kolommen, want A is vierkant) voorstelt. Het commando: 'eye' levert de eenheidsmatrix op en met de backslash ('\') wordt de vergelijking opgelost voor de eenheidsmatrix.