Gauss-Jordaneliminatie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Gauss-Jordaneliminatie is een uitbreiding van Gauss-eliminatie, een techniek waarmee een willekeurige matrix tot echelonvorm (trapvorm) kan worden teruggebracht. Met deze techniek kunnen onder andere lineaire vergelijkingen opgelost worden. De techniek bestaat, net als Gauss-eliminatie, uit rijoperaties op de matrix. Het verschil met Gauss-eliminatie is dat de matrix niet alleen van boven naar onder wordt geveegd, waarbij de getallen onder de diagonaal 0 worden, maar ook van onder naar boven, zodat er uiteindelijk alleen getallen op de diagonaal overblijven.

Gauss-Jordaneliminatie is aanzienlijk minder efficiënt dan Gauss-eliminatie met terugsubstitutie bij het oplossen van een stelsel van lineaire vergelijkingen. De methode is echter uitstekend geschikt voor het berekenen van inverse matrices.

De methode is genoemd naar Carl Friedrich Gauss en Wilhelm Jordan.

Berekenen van de inverse van een matrix[bewerken]

Gauss-Jordaneliminatie kan worden gebruikt om de inverse van een matrix uit te rekenen. Voor de inverse A^{-1} van de vierkante matrix A geldt onder andere dat

AA^{-1}=I,

met I de betrokken eenheidsmatrix. Door de vergelijking op te lossen met Gauss-Jordaneliminatie kan de inverse gevonden worden.

Gauss-Jordaneliminatie in software[bewerken]

Matlab[bewerken]

Softwareprogramma's zoals Matlab ondersteunen het Gauss-Jordaneliminatieproces. In Matlab kan een vergelijking

Ax=B \,

volgens Gauss-Jordan opgelost worden voor x met:

x = A / B \,

Een matrix A kan geveegd worden volgens Gauss-Jordan met het commando: rref(A). RREF staat voor Reduced Row Echelon Form.

De inverse

B = A^{-1} \,

van een matrix kan worden gevonden met het commando: B = A\eye(n), waarbij n het aantal rijen (en aantal kolommen, want A is vierkant) voorstelt. Het commando: 'eye' levert de eenheidsmatrix op en met de backslash ('\') wordt de vergelijking opgelost voor de eenheidsmatrix.

Spilmethode[bewerken]

Er bestaat een systematische methode voor het oplossen van een matrix. Op deze manier kunnen ook stelsels vergelijkingen opgelost worden. Er wordt vertrokken vanuit een (m . m+1)-matrix, waarbij m het aantal vergelijkingen is. Indien de determinant van de hoofdmatrix verschillend is van 0, kan de matrix worden uitgewerkt met Gauss-eliminatie.

Hierna wordt het volgende stelsel vergelijkingen uitgewerkt.

3x + 2y -  z = 4
 x +  y +  z = 6
2x - 2y + 3z = 7

1) Bijhorende matrix is:

B=\begin{bmatrix}3*&2&-1&4\\1&1&1&6\\2&-2&3&7\end{bmatrix}

2) We kiezen element B(k,k) als spil, aangeduid met sterretje *. De waarde voor k is achtereenvolgens 1 tot het aantal rijen

a) De spil is verschillend van 0. Indien de spil gelijk is aan 0 moet de rij met een onderliggende rij gewisseld worden.

b) Neem de spilrij over in een nieuwe matrix.

\begin{bmatrix}3*&2&-1&4\\-&-&-&-\\-&-&-&-\end{bmatrix}

c) De elementen boven en onder de spil worden 0.

\begin{bmatrix}3*&2&-1&4\\0&-&-&-\\0&-&-&-\end{bmatrix}

d) De andere elementen, zoals B(i,j) worden berekend door B(k,k)*B(i,j)-B(i,k)*B(k,j). Zo is element (2,3) = 3*1-1*(-1) = 4 in het geval dat k = 1 (eerste rij spilrij).

\begin{bmatrix}3&2&-1&4\\0&1*&4&14\\0&-10&11&13\end{bmatrix}

3) Herhaal stap 2 voor de andere rijen, toegepast op de nieuwe matrix (k variabel).

a) 2de rij als spilrij:

\begin{bmatrix}3&0&-9&-24\\0&1&4&14\\0&0&51&153\end{bmatrix}

b) We kunnen rij 1 en 3 vereenvoudigen (rij-operaties).

\begin{bmatrix}1&0&-3&-8\\0&1&4&14\\0&0&1*&3\end{bmatrix}

c) 3de rij als spilrij:

\begin{bmatrix}1&0&0&1\\0&1&0&2\\0&0&1&3\end{bmatrix}

4) Uit de matrix kunnen we nu het volgende afleiden:

1 . x = 1
1 . y = 2
1 . z = 3