Gaussische functie

De dichtheidsfunctie van een normale verdeling is een voorbeeld van een Gaussische functie.

In de wiskunde is een Gaussische functie of Gaussiaan een functie van de vorm:

$f(x) = a e^{-\left(\frac{x-b}{c}\right)^2}$

met a, b en c constanten waarvan a > 0.

Een Gaussische functie is genoemd naar de Duitse wiskundige Carl Friedrich Gauss.

Eigenschappen

Een belangrijke eigenschap van een Gaussische functie is dat de Fourier-getransformeerde van een Gaussische functie opnieuw een Gaussische functie oplevert. Dit kan eenvoudig aangetoond worden. Stel dat de Gaussische functie van volgende vorm is (met a > 0):

$f(x) = e^{-ax^2}$

De Fourier-getransformeerde $\mathcal{F}$ wordt gegeven door:

$\mathcal{F}\left(e^{-ax^2}\right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{- i\omega x}\,dx$

$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2} e^{- i\omega x}\,dx$

$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2 - i\omega x}\,dx$

$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-\left(\sqrt{a}x+\frac{i \omega}{2\sqrt{a}}\right)^2 + \left(\frac{i \omega}{2\sqrt{a}}\right)^2}\,dx$

$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{\omega^2}{4a}} \int_{-\infty}^\infty e^{-\left(\sqrt{a}x+\frac{i \omega}{2\sqrt{a}}\right)^2}\,dx$

$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{\omega^2}{4a}} \sqrt{\frac{\pi}{a}}$

$= \frac{1}{\sqrt{2a}} e^{-\frac{\omega^2}{4a}}$

Dit is inderdaad opnieuw een Gaussische functie.