Geïsoleerd punt

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
"0" is een geïsoleerd punt van A

In de topologie, een onderdeel van de wiskunde noemt men een punt x van een verzameling S een geïsoleerd punt, als er een omgeving van x bestaat die geen andere punten van S bevat. In het bijzonder in een Euclidische ruimte (of in een metrische ruimte), is x een geïsoleerd punt van S, als men een open bal rondom x kan vinden die geen andere punten van S bevat. Op gelijkwaardige wijze is een punt x geen geïsoleerd punt dan en slechts dan als x een ophopingspunt is.

Een verzameling die enkel en alleen bestaat uit geïsoleerde punten wordt een discrete verzameling genoemd. Een discrete deelverzameling van de Euclidische ruimte is telbaar, een verzameling kan echter telbaar maar niet discreet zijn, denk aan de rationale getallen. Zie ook discrete ruimte.

Een gesloten verzameling, waar geen geïsoleerd punten in liggen, noemt men een perfecte verzameling.

Het aantal geïsoleerde punten is een topologische invariant, dat wil zeggen dat als twee topologische ruimten X en Y homeomorf zijn, het aantal geïsoleerde punten in elke topologische ruimten gelijk is.

Voorbeelden[bewerken]

In de onderstaande voorbeelden worden topologische ruimten beschouwd als deelruimten van de reële getallenlijn.

  • Voor de verzameling S=\{0\}\cup [1, 2] is het punt 0 is een geïsoleerd punt.
  • Voor de verzameling S=\{0\}\cup \{1, 1/2, 1/3, \dots \} is elk van de punten 1/k een geïsoleerd punt, maar 0 is hier geen geïsoleerd punt, omdat er andere punten in S zijn, die zo dicht bij 0 liggen, als maar wordt gewenst.
  • De verzameling {\mathbb N} = \{0, 1, 2, \ldots \} van natuurlijke getallen is een discrete verzameling.