Geïsoleerde singulariteit

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de complexe analyse, een onderdeel van de wiskunde, is een geïsoleerde singulariteit een singulariteit die geen andere singulariteiten in de directe omgeving heeft.

Formeel is een complex getal z een geïsoleerde singulariteit van een functie f, indien er een open schijf D bestaat, die zodanig gecentreerd is op z, dat f holomorf is op D − {z}, dat wil zeggen, op de verzameling, verkregen uit D door z daar uit te verwijderen.

Elke singulariteit van een meromorfe functie is geïsoleerd, maar isolatie van singulariteiten is niet voldoende om te garanderen dat een functie meromorf is. Veel belangrijke instrumenten uit de complexe analyse, zoals de Laurentreeks en de residustelling vereisen dat alle relevante singulariteiten van de functie geïsoleerd zijn.

Voorbeelden[bewerken]

  • De functie \frac {1} {z} heeft 0 als een geïsoleerde singulariteit.
  • De functie \csc \left(\frac {1} {\pi z}\right) heeft een singulariteit op 0. Deze singulariteit is niet geïsoleerd, aangezien er extra singulariteiten in de recriproke van elke geheel getal bestaan, die zich willekeurig dichtbij bij 0 bevinden (dit hoewel de singulariteiten op deze reciproke punten zelf wel geïsoleerde singulariteiten zijn).

Zie ook[bewerken]