Geadjugeerde matrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra is de geadjugeerde matrix (soms ook adjunctmatrix) van een vierkante matrix een matrix die onder andere in verband gebracht kan worden met de inverse matrix.

Er bestaat in de wiskundige literatuur een ander begrip dat ook soms met de term "geadjungeerde matrix" wordt aangeduid, maar dat we behandelen bij het lemma toegevoegde operator.

Definitie[bewerken]

Men verkrijgt de geadjugeerde van een vierkante matrix A door elk element van die matrix te vervangen door zijn cofactor en vervolgens te transponeren. In symbolen

adj(A)ji = (-1)i+j Mij = Cij

Hierin staat Mij voor de minor van het element aij van A en Cij voor de cofactor van het element aij van A.

Voorbeeld[bewerken]

We bepalen de geadjugeerde matrix van A.

A = \begin{pmatrix}
2&-1&0\\
1&-3&2\\
3&0&1
\end{pmatrix} , \operatorname{adj}A = \begin{pmatrix}
-3&5&9\\
1&2&-3\\
-2&-4&-5
\end{pmatrix}^T

Eigenschappen[bewerken]

  • adj(A) A = A adj(A) = det(A) In
  • adj(AB) = adj(B) adj(A)
  • adj(AT) = (adj(A))T
  • det(adj(A)) = det(A)n−1

Toepassing[bewerken]

De geadjugeerde kan gebruikt worden om de inverse matrix te bepalen, indien deze bestaat.

Uit de eerste eigenschap kunnen we namelijk volgend resultaat bekomen

A^{ - 1}  = \frac{{\operatorname{adj} \left( A \right)}}{{\det \left( A \right)}}.

Merk op dat dit inderdaad enkel mogelijk is voor det(A) ≠ 0, dus voor inverteerbare matrices.

Zie ook[bewerken]