Geadjugeerde matrix

In de lineaire algebra is de geadjugeerde matrix (soms ook adjunctmatrix) van een vierkante matrix een matrix die onder andere in verband gebracht kan worden met de inverse matrix.

Er bestaat in de wiskundige literatuur een ander begrip dat ook soms met de term "geadjungeerde matrix" wordt aangeduid, maar dat we behandelen bij het lemma toegevoegde operator.

Definitie

Men verkrijgt de geadjugeerde van een vierkante matrix A door elk element van die matrix te vervangen door zijn cofactor en vervolgens te transponeren.

Symbolisch: adj(A)_ji = (-1)^i+j M_ij = C_ij

Hierin staat M_ij voor de minor van het element a_ij van A en C_ij voor de cofactor van het element a_ij van A.

Voorbeeld

We bepalen de geadjugeerde matrix van A.

$A = \begin{pmatrix} 2&-1&0\\ 1&-3&2\\ 3&0&1 \end{pmatrix}$ , $\operatorname{adj}A = \begin{pmatrix} -3&1&-2\\ 5&2&-4\\ 9&-3&-5 \end{pmatrix}$

Eigenschappen

• adj(A) A = A adj(A) = det(A) I_n
• adj(AB) = adj(B) adj(A)
• adj(A^T) = (adj(A))^T
• det(adj(A)) = det(A)ⁿ⁻¹

Toepassing

De geadjugeerde kan gebruikt worden om de inverse matrix te bepalen, indien deze bestaat.

Uit de eerste eigenschap kunnen we namelijk volgend resultaat bekomen

$A^{ - 1} = \frac{{\operatorname{adj} \left( A \right)}}{{\det \left( A \right)}}$.

Merk op dat dit inderdaad enkel mogelijk is voor det(A) ≠ 0, dus voor inverteerbare matrices.

Zie ook

• Matrix
• Inverse matrix