Geassocieerde Legendrepolynoom

De geassocieerde Legendrepolynomen of geassocieerde Legendreveeltermen zijn een familie wiskundige functies die gebruikt worden in de toegepaste wiskunde en de theoretische natuurkunde. Zij zijn een oplossing van de geassocieerde Legendrevergelijking (zie verder in dit artikel). Ofschoon deze functies niet allen veeltermen zijn, maar ook de vierkantswortel van $(1-x^2)$ kunnen bevatten worden ze toch polynomen genoemd. Ze worden gekenmerkt door twee geheelwaardige parameters. De meest bekende toepassing is te vinden in de kwantummechanische beschrijving van het waterstofatoom, waar ze een deel van de oplossing van de Schrödingervergelijking geven. Een veralgemening zijn de geassocieerde Legendrefuncties. Deze voldoen aan de dezelfde differentiaalvergelijking, namelijk de geassocieerde Legendrevergelijking, maar de twee parameters hoeven dan geen gehele getallen meer te zijn.

Definities

De geassocieerde Legendreveeltermen zijn de oplossingen van de geassocieerde Legendrevergelijking, een tweede orde differentiaalvergelijking:

$(1-x^2)\,y'' -2xy' + \left(\ell[\ell+1] - \frac{m^2}{1-x^2}\right)\,y = 0,\,$

Een equivalente vorm is:

$([1-x^2]\,y')' + \left(\ell[\ell+1] - \frac{m^2}{1-x^2}\right)\,y = 0,\,$

De geassociëerde Legendreveeltermen worden gedefinieerd op het interval $x\in$ [ -1,..,1] en zijn gekenmerkt door twee parameters. Dit zijn de graad, een natuurlijk getal $\ell \in \mathbb{N}$, en de orde, een geheel getal $m \in [-\ell,..\ell]$:

• Voor waarden $m \in [0,..\ell]$:

$P_\ell^{(m)}(x) = (-1)^m \left(1-x^2\right)^{m/2} \frac{\mathrm{d}^m}{\mathrm{d}x^m} P_\ell(x)$

waarbij $P_\ell(x)$ de gewone Legendreveeltermen zijn. De factor $(-1)^m$ is de zogenaamde Condon-Shortleyfase en wordt soms weggelaten. Men dient er zich dus steeds van te gewissen of dit gebeurd is of niet. Dit is vooral het geval indien men deze polynomen worden opgeroepen in wiskundige software.

Een alternatieve, geheel equivalente vorm is:

$P_\ell^{m}(x) = \frac{(-1)^m}{2^\ell \ell!} (1-x^2)^{m/2}\ \frac{d^{\ell+m}}{dx^{\ell+m}}(x^2-1)^\ell.$

• Voor waarden van de parameter m die strikt negatief wordt de volgende betrekking gebruikt:

$P^{-m}_\ell(x) = (-1)^m \frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!} P^{m}_\ell(x).$

waarbij m zelf tussen 0 en $\ell$ ligt.

Wanneer in deze definities m gelijk gesteld wordt aan 0 stemt de geassocieerde Legendreveelterm overeen met de gewone Legendreveelterm:

$P^{0}_\ell(x) = P_\ell(x).$

De veeltermen

Graad van de veeltermen

• Voor even waarden van $m$ is de geassocieerde Legendreveelterm steeds een veelterm waarvan de graad gelijk is aan $\ell$.

• Voor oneven waarden van $m$ bestaat de geassocieerde Legendreveelterm uit een echte veelterm van graad $\ell -1$ vermenigvuldigd met een factor $\sqrt{1-x^2}$.

Symmetrieën

Veeltermen waarvoor de som van de parameters $m\,+ \, \ell$ even is hebben een even symmetrie P(-x) = P(x), en hebben dus een grafiek die symmetrisch is tegenover de y-as. Indien de som van de twee parameters oneven is, heeft de veelterm een oneven symmetrie P(-x) = -P(x), en is de grafiek symmetrisch tegenover de oorsprong (0,0).

De eerste paar veeltermen

De veeltermen, tot $\ell$ = 4 zijn (een langere lijst is te vinden op de engelstalige pagina):

• Veelterm voor $\ell$ = 0

$P_{0}^{0}(x)=1$

• Veeltermen voor $\ell$ = 1

$P_{1}^{-1}(x)=-\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}P_{1}^{1}(x)$

$P_{1}^{0}(x)=x$

$P_{1}^{1}(x)=-(1-x^2)^{1/2}$

• Veeltermen voor $\ell$ = 2

$P_{2}^{-2}(x)=\begin{matrix}\frac{1}{24}\end{matrix}P_{2}^{2}(x)$

$P_{2}^{-1}(x)=-\begin{matrix}\frac{1}{6}\end{matrix}P_{2}^{1}(x)$

$P_{2}^{0}(x)=\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}(3x^{2}-1)$

$P_{2}^{1}(x)=-3x(1-x^2)^{1/2}$

$P_{2}^{2}(x)=3(1-x^2)$

• Veeltermen voor $\ell$ = 3

$P_{3}^{-3}(x)=-\begin{matrix}\frac{1}{720}\end{matrix}P_{3}^{3}(x)$

$P_{3}^{-2}(x)=\begin{matrix}\frac{1}{120}\end{matrix}P_{3}^{2}(x)$

$P_{3}^{-1}(x)=-\begin{matrix}\frac{1}{12}\end{matrix}P_{3}^{1}(x)$

$P_{3}^{0}(x)=\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}(5x^3-3x)$

$P_{3}^{1}(x)=-\begin{matrix}\frac{3}{2}\end{matrix}(5x^{2}-1)(1-x^2)^{1/2}$

$P_{3}^{2}(x)=15x(1-x^2)$

$P_{3}^{3}(x)=-15(1-x^2)^{3/2}$

• Veeltermen voor $\ell$ = 4

$P_{4}^{-4}(x)=\begin{matrix}\frac{1}{40320}\end{matrix}P_{4}^{4}(x)$

$P_{4}^{-3}(x)=-\begin{matrix}\frac{1}{5040}\end{matrix}P_{4}^{3}(x)$

$P_{4}^{-2}(x)=\begin{matrix}\frac{1}{360}\end{matrix}P_{4}^{2}(x)$

$P_{4}^{-1}(x)=-\begin{matrix}\frac{1}{20}\end{matrix}P_{4}^{1}(x)$

$P_{4}^{0}(x)=\begin{matrix}\frac{1}{8}\end{matrix}(35x^{4}-30x^{2}+3)$

$P_{4}^{1}(x)=-\begin{matrix}\frac{5}{2}\end{matrix}(7x^3-3x)(1-x^2)^{1/2}$

$P_{4}^{2}(x)=\begin{matrix}\frac{15}{2}\end{matrix}(7x^2-1)(1-x^2)$

$P_{4}^{3}(x)= - 105x(1-x^2)^{3/2}$

$P_{4}^{4}(x)=105(1-x^2)^{2}$

Andere eigenschappen

Orthogonaliteit

Voor waarden $0 \le m \le \ell$ geldt de orthogonaliteitseigenschap voor twee veeltermen met gelijke parameter m:

$\int_{-1}^{1} P_k ^{m} P_\ell ^{m} dx = \frac{2 (\ell+m)!}{(2\ell+1)(\ell-m)!}\ \delta _{k,\ell}$

waarbij $\delta _{k,\ell}$ deKroneckerdelta is.

De orthogonaliteitseigenschap voor twee veeltermen met gelijke parameter $\ell$ is:

$\int_{-1}^{1} \frac{P_\ell ^{m} P_\ell ^{n}}{1-x^2}dx = \begin{cases} 0 & \mbox{if } m\neq n \\ \frac{(\ell+m)!}{m(\ell-m)!} & \mbox{if } m=n\neq0 \\ \infty & \mbox{if } m=n=0\end{cases}$

Recursieformules

Volgende recursieformules zijn geldig:

$(\ell-m+1)P_{\ell+1}^{m}(x) = (2\ell+1)xP_{\ell}^{m}(x) - (\ell+m)P_{\ell-1}^{m}(x)$

$2mxP_{\ell}^{m}(x)=\sqrt{1-x^2}\left[P_{\ell}^{m+1}(x)+(\ell+m)(\ell-m+1)P_{\ell}^{m-1}(x)\right]$

$P_{\ell+1}^{m}(x) = P_{\ell-1}^{m}(x) + (2\ell+1)\sqrt{1-x^2}P_{\ell}^{m-1}(x)$

$\sqrt{1-x^2}P_{\ell}^{m+1}(x) = (\ell-m)xP_{\ell}^{m}(x) - (\ell+m)P_{\ell-1}^{m}(x)$

$(x^2-1){P_{\ell}^{m}}'(x) = {\ell}xP_{\ell}^{m}(x) - (\ell+m)P_{\ell-1}^{m}(x)$

$(x^2-1){P_{\ell}^{m}}'(x) = \sqrt{1-x^2}P_{\ell}^{m+1}(x) + mxP_{\ell}^{m}(x)$

$(x^2-1){P_{\ell}^{m}}'(x) = -(\ell+m)(\ell-m+1)\sqrt{1-x^2}P_{\ell}^{m-1}(x) - mxP_{\ell}^{m}(x)$

$P_{\ell +1}^{\ell +1}(x) = - (2\ell+1) \sqrt{1-x^2} P_{\ell}^{\ell}(x)$

$P_{\ell}^{\ell}(x) = (-1)^l (2\ell-1)!! (1- x^2)^{(l/2)}$

$P_{\ell +1}^{\ell}(x) = x (2\ell+1) P_{\ell}^{\ell}(x)$

In deze uitdrukkingen staat !! voor de dubbelfaculteit.

Goniometrische vorm

De geassocieerde Legendreveeltermen komen in de natuurkunde voor in een vorm waarbij de normale variabele x wordt vervangen door de cosinus van een hoek $\theta$. De veeltermen worden dan gegeven door:

$P_\ell^{m}(\cos\theta) = (-1)^m (\sin \theta)^m\ \frac{d^m}{d(\cos\theta)^m}\left(P_\ell(\cos\theta)\right)\,$

en zijn oplossing van de differentiaalvergelijking

$\frac{d^{2}y}{d\theta^2} + \cot \theta \frac{dy}{d\theta} + \left[\ell(\ell+1) - \frac{m^2}{\sin^2\theta}\right]\,y = 0\,$

Gebruik in de toegepaste wiskunde

De geassocieerde Legendrepolynomen komen in de wiskundige natuurkunde meestal voor als onderdeel van een grotere klasse van nuttige functies, de sferische harmonieken. Dit is bijvoorbeeld het geval in de golffunctie van het waterstofatoom. Deze golffunctie is de oplossing van de Schrödingervergelijking, en wordt uitgegeschreven in sferische coördinaten $(r,\theta,\phi)$. De angulaire afhankelijkheid, beschreven door de hoeken $(\theta,\phi)$ wordt bepaald door een eigenwaardevergelijking waarvan de sferische harmonieken de eigenfuncties zijn. Deze sferische harmonieken zijn het product van een complexe e-macht en een geassocieerde Legendrepolynoom, waarvan de parameters $m$ en $\ell$ overeenstemmen met twee van de kwantumgetallen van het waterstofatoom:

$Y_m^l \, \simeq \, e^{jm\phi} \, P_m^l(cos\theta) \!$

Omdat deze sferische harmonieken een orthogonaal stel functies vormen kunnen ze gebruikt worden om ingewikkelder functies in te ontbinden. Dit heeft tal van toepassingen, die allen te maken hebben met situaties waarin een verschijnsel dat in eerste benadering sferisch symmetrisch is, onderhevig is aan kleine perturbaties. Voorbeelden hiervan zijn trillingen van een bolvormig oppervlak zoals de zon of meer algemeen een ster, en details in de structuur van een zwaartekrachtveld ten gevolge van een niet homogene verdeling van de massa.

Bronnen

• M. Abramowitz, I. Stegun eds (1965{, "Handbook of mathematical functions" New York, Dover Publ., ISBN 978-0486612720
• Refaat El Attar (2009), Legendre Polynomials and Functions, CreateSpace, ISBN 978-1441490124
• Menzel D.H. (ed) 1960, "Fundamental Formules of Physics" New York, vol.1, Dover Publ., ISBN 0-486-60596-5
• De lijst van polynomen en de recursieformules werden overgenomen van de Engelstalige pagina van Wikipedia