Geheel getal van Eisenstein

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Gehele getallen van Eisenstein zijn de doorsnede punten van een driehoekig rooster in het complexe vlak

In de wiskunde zijn de gehele getallen van Eisenstein, genoemd naar Ferdinand Eisenstein, complexe getallen van de vorm

z = a + b \omega \!

waar a en b gehele getallen zijn en

\omega = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt 3) = e^{2\pi i/3}

een complexe eenheidswortel is. De gehele getallen van Eisenstein vormen een driehoekig rooster in het complexe vlak. Dit in tegenstelling tot de gehele getallen van Gauss die een vierkant rooster in het complexe vlak vormen.

Eigenschappen[bewerken]

De gehele getallen van Eisenstein vormen een commutatieve ring van algebraïsche gehele getallen in het algebraïsche getallenlichaam Q(ω). Om in te zien dat de gehele getallen van Eisenstein algebraïsche gehele getallen zijn, merk op dat z = a +  een wortel is van de monische veelterm

z^2 - (2a - b)z + (a^2 - ab + b^2).

In het bijzonder voldoet ω aan de vergelijking

\omega^2 + \omega + 1 = 0.

De norm van een geheel getal van Eisenstein is het kwadraat van de absolute waarde en wordt dus gegeven door

N(a+b\omega)=|a+b\omega|^2 = a^2 - ab + b^2,

immers:


|a+b\,\omega|^2=(a+b\,\omega)(a+b\,\bar\omega)=a^2 + ab(\omega+\bar\omega) + b^2\omega\bar\omega=a^2 - ab + b^2


De norm van een geheel getal van Eisenstein is een geheel getal.

De eenhedengroep in de ring van gehele getallen van Eisenstein is de cyclische groep die wordt voortgebracht door de zesde eenheidswortel in het complexe vlak. De groep bestaat uit de elementen ±1, ±ω, ±ω². Het betreft juist de gehele getallen van Eisenstein met norm 1.

Euclidisch domein[bewerken]

De ring van de gehele getallen van Eisenstein vormen een Euclidisch domein met norm N.

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]