Geheel getal van Eisenstein

Gehele getallen van Eisenstein zijn de doorsnede punten van een driehoekig rooster in het complexe vlak

In de wiskunde zijn de gehele getallen van Eisenstein, genoemd naar Ferdinand Eisenstein, complexe getallen van de vorm

$z = a + b \omega \!$

waar a en b gehele getallen zijn en

$\omega = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt 3) = e^{2\pi i/3}$

een complexe eenheidswortel is. De gehele getallen van Eisenstein vormen een driehoekig rooster in het complexe vlak. Dit in tegenstelling tot de gehele getallen van Gauss die een vierkant rooster in het complexe vlak vormen.

Eigenschappen

De gehele getallen van Eisenstein vormen een commutatieve ring van algebraïsche gehele getallen in het algebraïsche getallenlichaam 'Q' (ω). Om in te zien dat de gehele getallen van Eisenstein algebraïsche gehele getallen zijn merk op dat z = a + bω een wortel is van de monische veelterm

$z^2 - (2a - b)z + (a^2 - ab + b^2). \,\!$

In het bijzonder voldoet ω aan de vergelijking

$\omega^2 + \omega + 1 = 0. \,\!$

De norm van een geheel getal van Eisenstein is gewoon het kwadraat van haar absolute waarde en wordt gegeven door

$|a+b\omega|^2 = a^2 - ab + b^2. \,\!$

De norm van een geheel getal van Eisenstein is altijd een gewone (rationaal) geheel getal. Aangezien

$4a^2-4ab+4b^2=(2a-b)^2+3b^2, \,\!$

de norm van een niet-nulzijnd geheel getal van Eisenstein positief. is

De eenhedengroep in de ring van gehele getallen van Eisenstein is de cyclische groep, die wordt gevormd door de zesde eenheidswortel in het complexe vlak. Specifiek zijn zij

{±1, ±ω, ±ω²}

Dit betreft alleen de gehele getallen van Eisenstein met norm een.

Euclidisch domein

De ring van de gehele getallen van Eisenstein vormen een Euclidisch domein waarvan de norm N wordt gegeven door

$N(a + b\,\omega) = a^2 - a b + b^2. \,\!$

Dit kan als volgt worden afgeleid:

$\begin{align}N(a+b\,\omega) &=|a+b\,\omega|^2\\ &=(a+b\,\omega)(a+b\,\bar\omega)\\ &=a^2 + ab(\omega+\bar\omega) + b^2\\ &=a^2 - ab + b^2\end{align}$

Zie ook

• Geheel getal van Gauss

Externe links

• Geheel getal van Eisenstein --from MathWorld