Gelijkheid van Parseval

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de functionaalanalyse is de gelijkheid van Parseval, genoemd naar de Franse wiskundige Marc-Antoine Parseval, voor ruimten met een inproduct de generalisatie van de stelling van Pythagoras. De formule vindt vooral toepassing bij de orthogonale ontbinding in componenten, in het bijzonder bij Fouriertransformaties.

Gelijkheid[bewerken]

Laat V een lineaire ruimte met inproduct \langle\cdot,\cdot\rangle zijn en B een orthonormale basis daarin, dan geldt voor elke v\in V de gelijkheid van Parseval:

\|v\|^2=\langle v,v\rangle=\sum_{b\in B}|\langle v,b\rangle|^2

Omgekeerd geldt dat een willekeurig orthonormaal stelsel slechts dan een basis is, als de gelijkheid van Parseval geldt.

Toepassing[bewerken]

De gelijkheid van Parseval is geldig voor kwadratisch integreerbare functies. Voor de Fourierreeks

f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx}

met coëfficiënten

c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx}\, \mathrm{d}x

luidt de gelijkheid van Parseval:

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |f(x)|^2\,\mathrm{d}x=\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2

waarbij het linkerlid ook de energie van de functie f(x) genoemd wordt.

Zie ook[bewerken]