Genererende verzameling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de abstracte algebra is een genererende verzameling of voortbrengende verzameling van een groep, G, een deelverzameling, S, zodat elk element van G kan worden uitgedrukt als het product van een eindig aantal elementen van S en hun inversen.

Andersom, als S een deelverzameling is van een groep G, dan is <S>, de deelgroep gegenereerd/voortgebracht door S, de kleinste deelgroep van G die elk element van S bevat, wat betekent dat het de doorsnede is van alle deelgroepen die elk element van S bevatten; of op equivalente wijze uitgedrukt, <S> is de deelgroep van alle elementen van G die als het eindige product van de elementen van S en hun inversen kunnen worden uitgedrukt.

Als G = <S>, dan zeggen wij dat S, G genereert. De elementen van S worden de generatoren of groepsgeneratoren genoemd. Als S de lege verzameling is, dan is <S> vervolgens de triviale groep e, dit omdat we het lege product beschouwen als de identiteit.

Als er slechts één enkel element x deel uitmaakt van S, wordt <S> meestal geschreven als <x>. In dat geval, is <x> de cyclische deelgroep van de machten van x, een cyclische groep, en zegt men dat deze groep gegenereerd wordt door x en noemen men x de voortbrenger van de groep. De orde van een element x is gedefinieerd als de orde van <x> (het aantal elementen).

Externe links[bewerken]