Genormeerde vectorruimte

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde, met 2- of 3-dimensionale vectoren met reëel-gewaardeerde invoerwaarden, is het idee van de "lengte" van een vector een intuïtief idee, dat gemakkelijk kan worden uitgebreid naar alle reële vectorruimten Rn. De volgende eigenschappen van de "lengte van een vector" zijn cruciaal.

1. De nulvector, \vec{0}, heeft een lengte nul; alle andere vectoren hebben een positieve lengte.

\|x\|> 0 als x\ne0

2. Het vermenigvuldigen van een vector met een positief getal verandert de lengte van de vector, maar niet zijn richting. Zie eenheidsvector.

\|\alpha x\|=|\alpha| \|x\| voor enige scalar \alpha

3. De driehoeksongelijkheid gaat op. Dat is dat, normen als afstanden nemend, de afstand van punt A via B naar C nooit korter is dan de afstand die wordt afgelegd, wanneer men rechtstreeks van A naar C gaat, of in andere woorden de kortste afstand tussen twee punten is een rechte lijn.

\|x+y\| \le \|x\|+\|y\| voor enige vectoren x en y. (driehoeksongelijkheid)

De generalisatie van deze eigenschappen voor meer abstracte vectorruimten, leidt tot de notie van een norm. Een vectorruimte waarop een norm is gedefinieerd wordt een genormeerde vectorruimte genoemd.