Gesloten verzameling

In de topologie is een gesloten verzameling in een topologische ruimte X een deelverzameling van X waarvan het complement een open verzameling van X is.

Uit de eigenschappen, waaraan de open verzamelingen van een topologische ruimte moeten voldoen, volgt dat de vereniging van eindig veel gesloten verzamelingen en de doorsnede van willekeurig veel gesloten verzamelingen ook weer gesloten zijn.

Verder zijn de lege verzameling en X zelf gesloten.

Definitie van een gesloten verzameling

In een topologische ruimte is een verzameling gesloten dan en slechts dan als de verzameling samenvalt met haar afsluiting. Op gelijkwaardige wijze wordt een verzameling gesloten genoemd dan en slechts dan als de verzameling al haar ophopingspunten bevat.

Dit is niet te verwarren met een gesloten variëteit.

Eigenschappen van gesloten verzamelingen

Een gesloten verzameling bevat zijn eigen rand. Met andere woorden, als men zich "buiten" een gesloten verzameling bevindt en men "wiebelt" een heel klein beetje, blijft men buiten de verzameling. Merk op dat dit ook geldt wanneer de grens een lege verzameling is, bijvoorbeeld in de metrische ruimte van de rationale getallen, voor de verzameling van getallen waarvan de wortel minder dan 2 is.

Elke doorsnede van willekeurig veel gesloten verzamelingen is gesloten, en elke vereniging van een eindige hoeveelheid gesloten verzamelingen is gesloten. Met name zijn de lege verzameling en de gehele ruimte gesloten. In feite, gegeven een verzameling X en een collectie F van deelverzamelingen van X die deze eigenschappen heeft, dan zal F een collectie van gesloten verzamelingen zijn voor een unieke topologie op X. De doorsnede eigenschap maakt het ook mogelijk om een definitie van de afsluiting van een verzameling A in een ruimte X te geven. De afsluiting wordt gedefinieerd als de kleinste gesloten deelverzameling van X die tevens een superset van A is. Meer specifiek kan de afsluiting van A worden geconstrueerd uit de doorsnede van alle van deze gesloten supersets.

Verzamelingen die kunnen worden geconstrueerd uit de vereniging van aftelbaar vele gesloten verzamelingen worden aangeduid als F_σ verzamelingen. Deze verzamelingen hoeven niet gesloten te zijn. .

Voorbeelden van gesloten verzamelingen

• Het gesloten interval [a,b] van de reële getallen is gesloten. (Zie interval voor een uitleg van de betekenis van de haakjes in de verzamelingenleer.)
• Het eenheidsinterval [0,1] is gesloten in de reële getallen van de metrische ruimte, en de verzameling [0,1] ∩ Q van rationele getallen tussen 0 en 1 (inclusief) is gesloten in de rationale getallenruimte, maar [0,1] ∩ Q is niet gesloten in de reële getallenruimte.
• Sommige verzamelingen zijn open noch gesloten, bijvoorbeeld het half-open interval [0,1) in de reële getallen.
• Sommige verzamelingen zijn zowel open als gesloten. Zij worden wel clopen verzamelingen genoemd.

Meer over gesloten verzamelingen

In puntenverzameling topologie is een verzameling $A$ gesloten indien deze al haar randpunten bevat.

Het begrip "gesloten verzameling wordt hierboven in termen van open verzamelingen gedefinieerd, een concept dat logisch is voor topologische ruimten, evenals voor andere ruimten die topologische structuren met zich meedragen, zoals metrische ruimten, differentieerbare variëteiten, uniforme ruimten en ijkruimten.

Een alternatieve karakterisering van gesloten verzamelingen kan men verkrijgen via rijen en netten. Een deelverzameling A van een topologische ruimte X is gesloten in X dan en slechts dan als iedere limiet van elk net van elementen van A ook tot A behoort. In een eerst-telbare ruimte (zoals een metrische ruimte), is het voldoende om alleen rijen, in plaats van alle netten, te beschouwen. Een waarde van deze karakterisering is dat deze gebruikt kan worden als een definitie in de context van convergentie ruimten, die meer algemeen zijn dan topologische ruimten. Merk op dat deze karakterisering ook afhangt van de omgevende ruimte X, omdat het feit of een volgorde of net al dan niet in X convergeert, afhangt van welke punten aanwezig zijn in X.

We hebben twee keer gezien dat het feit of een verzameling gesloten is afhangt van de ruimte waarin de verzameling is ingebed. Compacte Hausdorff-ruimten zijn echter in zekere zin "absoluut gesloten". Om precies te zijn als men een compacte Hausdorff-ruimte K inbed in een willekeurige Hausdorff-ruimte X, dan zal K altijd een gesloten deelverzameling van X zijn; de "omringende ruimte" doet er hier niet toe. Deze eigenschap kenmerkt in feite de compacte Hausdorff-ruimten. Stone-Čech-compactificatie, een proces dat een volledig regelmatige Hausdorff-ruimte in een compacte Hausdorff-ruimte verandert, kan worden omschreven als aangrenzende limieten van bepaalde niet-convergente netten op deze ruimte.