Getijdenveld

Het getijdenveld is een grootheid gerelateerd aan het zwaartekrachtsveld die bepaalt welke getijdenkrachten op een hemellichaam inwerken. Het is onder andere de oorzaak van de getijden, de afwisseling van eb en vloed op de oceaan.

Achtergrond

Een afbeelding van een getijdenveld

Van een uniform zwaartekrachtsveld is lokaal niets te merken, het geeft alleen een versnelling ten opzichte van de buitenwereld. Het zwaartekrachtsveld van een begrensde massa is echter nooit uniform. Voor een object dat groter is dan een punt zal het zwaartekrachtsveld op verschillende punten van het object net iets anders zijn: het verschil van de lokale kracht en de kracht die de baan bepaalt (typisch de zwaartekracht in het centrum van een ster of planeet) uit zich als de getijdenkracht. Wiskundig betekent dat dat het getijdenveld de afgeleide is van het zwaartekrachtsveld. Intuïtief is het duidelijk dat de getijdenkracht klein is als het zwaartekracht bijna constant is in de ruimte en sterker is naarmate het veld meer varieert.

In het geval van de aarde zijn het voornamelijk de zon en de maan die invloed uitoefenen. Omdat de aarde roteert, varieert de kracht en richting van de getijdenkracht gedurende een etmaal: dit veroorzaakt de getijgolf met de samenhangende getijden.

Getijdenkrachten spelen verder onder meer een rol bij de inwendige verhitting van Io en andere manen in ons zonnestelsel, Sterrenhopen kunnen uiteenvallen onder de invloed van het getijdenveld van hun melkwegstelsel. Onderlinge getijdenwerking tussen melkwegstelsels kan ervoor zorgen dat interstellair gas samengedrukt wordt en meer sterren vormt.

Wiskundige beschrijving

De getijdentensor $T_{ij}$ is de afgeleide van het zwaartekrachtsveld $F=-\nabla \Phi$:

$T_{ij}=\frac{\partial F_i}{\partial x_j}=-\frac{\partial^2 \Phi}{\partial x_j \partial x_i}$

$\Phi$ is hier de zwaartekrachtspotentiaal, die gevonden wordt uit de massa dichtheid $\rho$ door de Poissonvergelijking, $\Delta\Phi=-4 \pi G \rho$ op te lossen.

Voor het zwaartekrachtsveld van een sferisch symmetrische massa $M$ in de oorsprong geldt buiten deze massa voor de potentiaal $\Phi(x,y,z)=G M / \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ en voor de getijdentensor:

$T = \frac{G M}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}} \, \left[ \begin{matrix} 2x^2 - y^2 - z^2 & 3xy & 3xz \\ 3xy & 2y^2 - x^2 - z^2 & 3yz \\ 3xz & 3yz & 2z^2 - x^2 - y^2 \end{matrix} \right]$

(merk op dat het spoor van matrix T nul is, zoals ook volgt uit de Poissonvergelijking met ρ = 0).

Dit betekent bijvoorbeeld dat op positie $(x,y,z)=(0,0,r)$ de getijdentensor gelijk is aan

$T=\frac{G M}{r^3} \, \left[ \begin{matrix} -1 & & \\ & -1 & \\ & & 2 \end{matrix} \right]$

Dit betekent dus een trekkracht in de richting van de zwaartekracht en een half zo grote drukkracht in de loodrechte richtingen. Per saldo worden voorwerpen buiten een massa dus niet door die massa uitgerekt of samengeperst, maar alleen vervormd.

Gevolg is dat de getijdenversnelling op het oppervlak van een planeet waar de ster in het zenit of in het nadir staat is van de planeet af gericht (expansief) met sterkte $\frac{GM}{R^3} \times r_{\rm planeet}$. In het vlak waar de ster juist aan de horizon staat is de getijdenkracht juist naar binnen gericht (compressief), met de halve sterkte ten opzichte van de expansieve kracht. Vanwege de sferische symmetrie geldt dit ook voor een planeet op een andere positie.

Bij een val in een zwart gat treedt spaghettificatie op.

Zon en Maan

Toepassing van de formule voor de sterkte van het getijdenveld op de zon en de maan geeft dat de invloed van de maan ongeveer 2x zo groot is als van de zon, immers:

$\left( \frac{M_{\rm maan}}{M_{\rm zon}} \right) \times \left( \frac{R_{\rm aarde-zon}}{R_{\rm aarde-maan}} \right)^3 \approx 3.7\times10^{-8} \times 390^3 = 2.2$.

In populaire literatuur

In het korte verhaal "Neutron Tide" beschrijft de schrijver Arthur C. Clarke het lot van een ruimteschip dat langs een neutronenster geslingerd wordt en daarbij aan stukken gescheurd wordt.

Zie ook

• Getijde (waterbeweging)
• Getijde (astronomie)
• Zwaartekrachtspotentiaal
• Zwaartekrachtsveld