Groep (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De mogelijke manipulaties van de Rubiks kubus vormen een groep.

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een groep een bepaalde algebraïsche structuur. Een groep bestaat uit een verzameling V en een operatie, die altijd op twee elementen van V werkt. Deze operatie is dus een binaire operatie. Groepen voldoen aan een aantal voorwaarden of axioma's. Er zijn vier groepsaxioma's: de operatie is gesloten, de operatie is associatief, er is in de groep een element de identiteit en ieder element in de groep heeft een invertibiliteit. Bijvoorbeeld de gehele getallen vormen met de optelling een groep.

De axioma's moeten voor alle groepen gelden. Groepen onderling zijn allemaal verschillend, zij vormen het onderwerp van de groepentheorie. Met groepen kunnen de structurele aspecten van objecten van uiteenlopende oorsprong op uniforme wijze worden bestudeerd. De alomtegenwoordigheid van de groepen op tal van gebieden, zowel binnen als buiten de wiskunde, maakt van groepen een centraal ordenend principe binnen de hedendaagse wiskunde.[1][2]

Groepen delen een fundamentele verwantschap met het begrip symmetrie. Een symmetriegroep codeert symmetrie-eigenschappen van een meetkundig object: Hij bestaat uit de verzameling van transformaties die het object ongewijzigd laten, en als operatie het na elkaar uitvoeren van twee van zulke transformaties. Zulke symmetriegroepen, in het bijzonder de continue Lie-groepen, spelen een belangrijke rol in tal van academische disciplines. Matrixgroepen worden bijvoorbeeld gebruikt om de natuurwetten die ten grondslag liggen aan de speciale relativiteitstheorie en symmetrie-fenomenen in de moleculaire scheikunde, te begrijpen.

Het concept van een groep is ontstaan uit de studie van vergelijkingen. Évariste Galois in de jaren 1830 was een van de wiskundigen die hieraan rekenden. De theorie die het verband legt tussen polynomen en groepen, is naar hem genoemd. Na bijdragen vanuit andere gebieden, zoals de getaltheorie en de meetkunde, kreeg het begrip groep in de wiskunde zijn algemene vorm, en kreeg de groepentheorie rond 1870 een stevige basis. Om groepen te onderzoeken hebben wiskundigen verschillende begrippen gedefinieerd die het mogelijk maken om groepen op te breken in kleinere, beter begrijpelijke stukken, zoals ondergroepen, quotiëntgroepen en enkelvoudige groepen. Naast de abstracte eigenschappen van groepen bestuderen groepstheoretici ook de verschillende manieren waarop een groep concreet kan worden uitgedrukt (haar groepsrepresentaties), zowel vanuit een theoretisch als een computationeel standpunt. Er heeft zich een bijzondere rijke theorie van de eindige groepen ontwikkeld, die culmineerde in de classificatie van eindige enkelvoudige groepen, die werd voltooid in 1983. Sinds het midden van de jaren 1980 is de meetkundige groepentheorie, die eindig gegenereerde groepen als meetkundige objecten bestudeert, uitgegroeid tot een bijzonder actief onderzoeksgebied binnen de groepentheorie.

Definitie en illustratie[bewerken]

Algebraïsche
structuren

Magma
Halfgroep
Monoïde
Groep
Ring / Ideaal
Lichaam/Veld

Moduul
Vectorruimte
Algebra

Categorie
Tralie
Boole-algebra

Eerste voorbeeld: de gehele getallen[bewerken]

Een van de bekendste groepen is de verzameling van gehele getallen Z, die bestaat uit de getallen

..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,, ...[3]

De volgende eigenschappen van de gehele getallen optelling dienen als een model voor de abstracte groepsaxioma's die in de onderstaande definitie worden gegeven.

  1. Voor elke twee gehele getallen a en b, is de som a + b ook een geheel getal. Met andere woorden, het proces van het bij elkaar optellen van twee gehele kan nooit een resultaat opleveren dat niet ook een geheel getal is. Deze eigenschap staat bekend als geslotenheid onder de operatie optelling.
  2. Voor alle gehele getallen a, b en c, (a + b) + c = a + (b + c). Uitgedrukt in woorden, het eerst optellen van a bij b, en dan het resultaat hiervan bij c optellen geeft hetzelfde eindresultaat als het optellen van a bij de som van b en c, een eigenschap die bekendstaat als associativiteit.
  3. Als a een geheel getal is, dan 0 + a = a + 0 = a. Nul wordt het identiteitselement van de operatie optelling genoemd, omdat het optellen van nul bij een willekeurig geheel getal ditzelfde gehele getal als resultaat oplevert.
  4. Voor elk geheel getal a, is er een geheel getal b, zodanig dat a + b = b + a = 0. Het gehele getal b wordt het inverse element van het gehele getal a genoemd en wordt ook aangeduid door -a.

Definitie[bewerken]

Een groep (G, •) wordt gevormd door een niet-lege verzameling G met een associatieve binaire bewerking • : G × GG, een voor de bewerking neutraal element e en bij elk element a een voor de bewerking invers element a^{-1}.

Uitgebreider geformuleerd:

Een groep is een verzameling, G, samen met een operatie "•" , die elke twee elementen a en b combineert tot weer een element van G, dat wordt aangeduid door ab. Het symbool "•" is een algemene plaatshouder voor een concreet gegeven operatie, zoals de optelling hierboven. Om als een groep te kwalificeren moeten de verzameling en de operatie, (G, •), voldoen aan vier eisen die samen bekendstaat als de groepsaxioma's:[4]

Geslotenheid
Voor alle a, b in G is het resultaat ab van de groepsoperatie ook in G.
Associativiteit
Voor alle a, b en c in G geldt de relatie: (ab) • c = a • (bc).
Identiteitselement
Er bestaat een element e in G, zodat voor alle elementen a in G geldt dat ea = ae = a.
Invertibiliteit
Voor elke a in G, bestaat er een element b in G zodanig dat ab = ba = e, waar e het identiteitselement is.

Merk op dat een groep niet noodzakelijk commutatief hoeft te zijn, i.e. het is niet noodzakelijk dat voor alle a en b in G, a * b = b * a. Als dit wel het geval is spreekt men van een commutatieve of abelse groep (naar de wiskundige Niels Abel).

Commutativiteit
Voor alle a en b in G, a * b = b * a.

Verder wordt er onderscheid gemaakt tussen eindige en oneindige groepen.

Tweede voorbeeld: een symmetriegroep[bewerken]

De symmetrieën (dat wil zeggen, rotaties en spiegelingen) van een vierkant vormen een groep die de dihedrale groep wordt genoemd en die wordt aangeduid met D4.[5] De dihedrale groep kent de onderstaande acht symmetrieën:

Group D8 id.svg
id (onveranderd)
Group D8 90.svg
r1 (rotatie van 90° met de klok mee)
Group D8 180.svg
r2 (rotatie van 180° met de klok mee)
Group D8 270.svg
r3 (rotatie van 270° met de klok mee)
Group D8 fv.svg
fv (verticale flip)
Group D8 fh.svg
fh (horizontale flip)
Group D8 f13.svg
fd (diagonale flip)
Group D8 f24.svg
fc (tegen-diagonale flip)
De elementen van de symmetriegroep van het vierkant (D4). De hoekpunten zijn alleen gekleurd en genummerd om de operaties te visualiseren.
  • de identieke afbeelding, die alles onveranderd laat, aangeduid door id;
  • rotaties van het vierkant 90° right, 180° right en 270° met de klok mee, aangeduid door respectievelijk r1, r2 and r3;
  • spiegelingen over de verticale en horizontale middellijn (fh en fv) of door de twee diagonalen (fd en fc).

Elke twee symmetrieën a en b kunnen worden samengesteld, dat wil zeggen, de een na de ander toegepast. Het resultaat van eerst a uitvoeren en dan b wordt symbolisch van rechts naar links geschreven als

ba ("pas de symmetrie b toe, na eerst de symmetrie a uitgevoerd te hebben". De van "rechts-naar-links" notatie komt voort uit de samenstelling van functies).

De groepstabel aan de rechterkant geeft de resultaten van alle mogelijke samenstelling van symmetrieën. De 270° rotatie met de klok mee (r3) en vervolgens horizontaal omkeren (fh) is hetzelfde als het uitvoeren van een spiegeling over de diagonaal (fd). Door gebruik te maken van de bovengenoemde symbolen, die in het blauw in de groepstabel zijn weergegeven:

fh • r3 = fd
Groepstabel van D4
id r1 r2 r3 fv fh fd fc
id id r1 r2 r3 fv fh fd fc
r1 r1 r2 r3 id fc fd fv fh
r2 r2 r3 id r1 fh fv fc fd
r3 r3 id r1 r2 fd fc fh fv
fv fv fd fh fc id r2 r1 r3
fh fh fc fv fd r2 id r3 r1
fd fd fh fc fv r3 r1 id r2
fc fc fv fd fh r1 r3 r2 id
De elementen id, r1, r2 en r3 vormen een ondergroep, die in het roze (bovenkant links) is aangegeven. Een linker en rechter nevenklasse van deze ondergroep is respectievelijk in het groen (in de laatste rij) en in het geel (de laatste kolom) aangegeven.

Gezien deze verzameling van symmetrieën en de beschreven operatie, kunnen de groepsaxioma's als volgt worden opgevat:

  1. Het axioma van geslotenheid vraagt dat de compositie ba van enige twee symmetrieën a en b ook een symmetrie is. Een ander voorbeeld voor de groepsoperatie is
    r3 • fh = fc,
    dat wil zeggen een rotatie van 270° met de klok mee na het vierkant eerst horizontaal geflipt te hebben over de tegendiagonaal (fc). Inderdaad geeft elke andere combinatie van twee symmetrieën opnieuw een symmetrie. Hier kan men zich zelf van overtuigen door dit voor elke samenstelling te controleren in de groepstabel.
  2. De associativiteitsrestrictie heeft betrekking op het samenstellen van meer dan twee symmetrieën: gegeven drie elementen a, b en c van D4, zijn er twee mogelijke manieren om "a dan b en dan c" te berekenen. Het vereiste dat
    (ab) • c = a • (bc)
    betekent dat de samenstelling van de drie elementen onafhankelijk is van de prioriteit van de operaties, dat wil zeggen het samenstellen van eerst a na b en vervolgens c uitvoeren op het resultaat van ab op hetzelfde neerkomt als a uitvoeren na de compositie van b en c. (fd • fv) • r2 = fd • (fv • r2) kan bijvoorbeeld worden gecontroleerd door gebruik te maken van de groepstabel aan de rechterkant
    (fd • fv) • r2  =  r3 • r2  =  r1, wat gelijk is aan
    fd • (fv • r2)  =  fd • fh  =  r1.
  3. Het identiteitselement is de symmetrie id die alles ongewijzigd laat: voor enige symmetrie a, id uitvoeren na a (of a na id) is gelijk aan alleen a uitvoeren, in symbolische vorm,
    id • a = a,
    a • id = a.
  4. Een invers element maakt de transformatie van een ander element ongedaan. Elke symmetrie kan ongedaan worden gemaakt: elk van de transformaties—identiteit id, de flips fh, fv, fd, fc en de 180° rotatie r2—zijn hun eigen inverse, omdat deze operaties twee keer achter elkaar uitvoeren het vierkant teruggeeft met haar originele oriëntatie. De rotaties r3 en r1 zijn elkaars inverse, omdat op een manier roteren en vervolgens met dezelfde hoek de andere kant op roteren, het vierkant ongewijzigd laat. In symbolen,
    fh • fh = id,
    r3 • r1 = r1 • r3 = id.

In contrast met de groep van de gehele getallen hierboven, waar de volgorde van de operatie niet relevant is, is dit in D4 wel van belang: fh • r1 = fc maar r1 • fh = fd. Met andere woorden, D4 is geen abelse groep. Dit maakt de groepsstructuur moeilijker dan de eerder geïntroduceerde gehele getallen.

Notaties[bewerken]

De groep van alle permutaties van een rij van n elementen heet de symmetrische groep \mathcal{S}_n. De naam van deze groep is niet ontleend aan de symmetrie in de groep.

Er zijn twee gangbare notaties voor de bewerkingen. Meestal maakt men gebruik van de multiplicatieve notatie:

  • We schrijven ab of ab in plaats van a*b en noemen dit het product van a en b.
  • Het neutraal element wordt als 1 of als e genoteerd.
  • De inverse van een element a wordt als a−1 genoteerd.

Indien de bewerking commutatief is, wordt vaak gebruikgemaakt van de additieve notatie:

  • We schrijven a+b in plaats van a*b en noemen dit de som van a en b.
  • Het neutraal element wordt als 0 genoteerd.
  • De inverse van een element a wordt genoteerd als –a

Geschiedenis[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie Geschiedenis van de groepentheorie voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Het moderne concept van een abstracte groep ontwikkelde zich uit verschillende deelgebieden van de wiskunde[6][7][8]. De oorspronkelijke motivatie voor de groepentheorie was de zoektocht naar oplossingen van polynomiale vergelijkingen van graad 5 en hoger. De 19e-eeuwse Franse wiskundige Évariste Galois, die voortbouwde op eerder werk van Paolo Ruffini en Joseph-Louis Lagrange, gaf een criterium voor de oplosbaarheid van bepaalde veeltermvergelijkingen in termen van symmetriegroepen van zijn wortels (oplossingen). De elementen van een dergelijke Galoisgroep komen overeen met bepaalde permutaties van de wortels. Aanvankelijk werden Galois zijn ideeën verworpen door zijn tijdgenoten en zijn werken werden pas voor het eerst ruim vijftien jaar na zijn vroege dood gepubliceerd[9][10]. Meer algemene permutatiegroepen werden met name onderzocht door Augustin Louis Cauchy. Arthur Cayleys On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1 (Over de groepentheorie, afhankelijk van de symbolische vergelijking θn = 1) (1854) geeft de eerste abstracte definitie van een eindige groep[11].

De meetkunde was een tweede terrein, waarop systematisch groepen werden gebruikt, vooral symmetriegroepen, als onderdeel van Felix Kleins Erlanger Programm uit 1872[12]. Nadat "nieuwe meetkunden", zoals de hyperbolische- en de projectieve meetkunde waren ontstaan, gebruikte Klein de groepentheorie om deze "nieuwe meetkunden" op een meer coherente manier te organiseren. Deze ideeën verdere bevorderend, legde Sophus Lie in 1884 het fundament voor de studie van de naar hem genoemde Lie-groepen[13]

Het derde veld dat bijdroeg aan de groepentheorie was de getaltheorie. Van bepaalde abelse groep structuren werd reeds impliciet gebruikgemaakt in Carl Friedrich Gauss' Disquisitiones Arithmeticae uit 1798 en meer expliciet door Leopold Kronecker[14]. In 1847 leidde Ernst Kummer vroege pogingen om de laatste stelling van Fermat te bewijzen naar een climax door de ontwikkeling van groepen die factorisatie in priemgetallen beschreven[15]

De convergentie van deze verschillende bronnen in een uniforme groepentheorie begon in 1870 met Camille Jordans Traité des substitutions et des équations algébriques[16].Walther von Dyck (1882) stelde als eerste een moderne definitie van een abstracte groep[17] op. Vanaf het begin van de 20e eeuw, verkregen groepen een brede erkenning door het baanbrekende werk van Ferdinand Georg Frobenius en William Burnside, die werkte op het gebied van de representatietheorie van eindige groepen, Richard Brauers modulaire representatietheorie en de artikelen van Issai Schur[18] De theorie van de Lie-groepen, en meer in het algemeen de lokaal compacte groepen werd gepropageerd door Hermann Weyl, Élie Cartan en vele anderen[19]. Haar algebraïsche tegenhanger, de theorie van de algebraïsche groepen, werd vanaf de late jaren dertig voor het eerst door Claude Chevalley vormgegeven en later voortgezet met belangrijk werk van Armand Borel en Jacques Tits[20].

Het door de Universiteit van Chicago in het academisch jaar 1960-61 georganiseerde "Groepentheoriejaar" bracht een aantal vooraanstaande groepentheoretici, zoals Daniel Gorenstein, John Griggs Thompson en Walter Feit bij elkaar. Hierdoor werd het fundament van een samenwerking gelegd die, met inbreng van vele andere wiskundigen, in 1982 tot de classificatie van alle eindige enkelvoudige groepen zou leiden. Dit project overtrof alle vorige wiskundige inspanningen door zijn enorme omvang, zowel wat betreft de lengte van het bewijs als door het aantal onderzoekers. Er is nog steeds onderzoek gaande om het bewijs van deze classificatie te vereenvoudigen[21]. Deze dagen is de groepentheorie nog steeds een zeer actief deelgebied van de wiskunde met een cruciale invloed op vele andere takken van de wiskunde.

Voorbeelden[bewerken]

Eenvoudige eigenschappen[bewerken]

Basisfeiten over alle groepen die direct uit de groepaxioma's kunnen worden verkregen worden meestal ondergebracht onder de elementaire groepentheorie [22].

Twee belangrijke gevolgen van de groepsaxioma's zijn dat in een groep precies één identiteitselement voorkomt en dat ieder element precies één invers element heeft. Het is daarom gebruikelijk om te spreken van het identiteitselement en de inverse van een element [23].

Puntsgewijs opgesomd gelden de volgende eenvoudige eigenschappen:

  • Een groep heeft precies één neutraal element.
  • Elk element heeft precies één inverse.
  • De inverse van een product is gelijk aan het product van de inversen in omgekeerde volgorde, dat wil zeggen: (a*b)−1 = b−1*a−1.
  • Bij herhaalde bewerking a1*a2*···*an hoef je geen haakjes te schrijven, want wegens de associativiteit is deze uitdrukking ondubbelzinnig.

Bewijs van de uniciteit van het neutrale element[bewerken]

Stel dat e' ook neutraal element is. Dan is:

e' * e = e \,,

maar omdat e zelf neutraal element is geldt ook:

e' * e = e' \,,

Gevolg:

e' = e \,.

Bewijs van de uniciteit van de inverse[bewerken]

Stel x \in G en a, b \in G zijn beide inversen van x. Dan:

 x*a = a*x = e = x*b = b*x\,,

dus

a = a*e = a*(x*b) = (a*x)*b = e*b = b\,.

Blijkbaar geldt voor alle inversen van x dat ze aan elkaar gelijk zijn, ofwel de inverse is uniek.

Uit de uniciteit van de inverse volgt:

 a*x=e \Rightarrow x = a^{-1}*e \!

en

 x*a=e \Rightarrow x = e*a^{-1} \!

Implicatie van de associativiteitseigenschap[bewerken]

Herhaaldelijk toepassen van het axioma, dat de bewerking in de groep associatief is, laat zien dat de eenduidigheid van

 a * b * c = (a * b) * c = a * (b * c)

in het algemeen ook geldt wanneer er meer dan drie elementen staan. Omdat dit impliceert dat haakjes overal binnen een dergelijke reeks van termen kunnen worden ingevoegd, worden haakjes meestal weggelaten [24].

Deling[bewerken]

Op groepen is het mogelijk om een deling uit te voeren: bij gegeven elementen a en b van de groep G, bestaat er precies één oplossing x in G voor de vergelijking xa = b [23]. In feite geeft de rechtervermenigvuldiging van de vergelijking met a−1 de oplossing x = xaa−1 = ba−1. Op gelijke wijze is er precies een oplossing y in G voor de vergelijking ay = b, namelijk y = a−1b. Let op: in het algemeen komen x en y niet overeen.

Mogelijke afzwakking groepsaxioma's[bewerken]

De axioma's kunnen worden afgezwakt door voor ieder element a slechts het bestaan van een element b te eisen, dat linksinvers is met a. In dat geval kan namelijk alsnog worden aangetoond[25] dat de inverse in feite tweezijdig is:

 b * a = a * b = e

Basisconcepten[bewerken]

Om groepen op een niveau te begrijpen dat verdergaat dan louter symbolische manipulatie, moeten meer structurele concepten worden ingezet. Er is een conceptueel uitgangspunt dat ten grondslag ligt aan al de volgende begrippen: om te profiteren van de structuur die door groepen wordt geboden, een structuur die niet aanwezig is in "structuurloze" verzamelingen, moeten aan groepen gerelateerde constructies verenigbaar zijn met de groepsbewerking. Deze compatibiliteit manifesteert zichzelf op verschillende manieren in de volgende begrippen. Men kan bijvoorbeeld groepen aan elkaar relateren met behulp van functies die groepshomomorfismen worden genoemd. Door het genoemde principe zijn ze verplicht om de groepsstructuren in een precieze betekenis te respecteren. De structuur van de groepen kan ook worden begrepen door groepen in stukken op te breken. Deze stukken noemt men deelgroepen en quotiëntgroepen. Het principe van het "behoud van structuur" - een terugkerend onderwerp door de hele wiskunde - is een instantie van werken met een categorie, in dit geval de categorie van groepen.

Groepshomomorfisme[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie Groepshomomorfisme voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Groepshomomorfismen, g zijn functies die de groepsstructuur bewaren. Een functie a: GH tussen twee groepen is een homomorfisme als de vergelijking

a(gk) = a(g) • a(k)

voor alle elementen g, k in G geldt, dat wil zeggen dat het resultaat hetzelfde is als het uitvoeren van de groepsoperatie na of voor het toepassen van de afbeelding a. Deze eis zorgt ervoor dat a(1G) = 1 H, en ook dat a(g)−1 = a(g−1) voor alle g in G. Een groepshomomorfisme respecteert dus alle structuur van G die wordt voorzien door de groepsaxioma's[26].

Twee groepen G en H worden isomorf genoemd als er een groepshomomorfismen a : GH en b: HG bestaat, zodanig dat de toepassing van de twee functies de een na de ander (in elk van de twee mogelijke volgordes) gelijk is aan de identiteitsfunctie van respectievelijk G en H. Dat wil zeggen dat voor elke g in G en h in H geldt dat a(b(h)) = h en b(a(g)) = g. Vanuit een abstract oogpunt bevatten isomorfe groepen dezelfde informatie. Bijvoorbeeld bewijzen dat gg = 1 voor enig element g van G is equivalent aan bewijzen dat a(g) • a(g) = 1. Dit is zo, omdat a op de eerste gelijkheid toepassen de tweede gelijkheid oplevert, en b toepassen op de tweede gelijkheid de eerste gelijkheid teruggeeft.

Ondergroepen[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie Ondergroep (wiskunde) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Als (G,*) een groep is en H een deelverzameling is van G, en (H,*) is een groep, dan noemt men (H,*') een ondergroep van (G,*). Eenvoudiger is een ondergroep, een groep H, die in een grotere groep, G[27] ligt. De identiteit van G moet in H liggen, en wanneer h1 en k2 deel uitmaken van H, doen h1k2 en h1−1 dit ook, zodanig dat de elementen van H, met de groepsbewerking op G, beperkt tot H, inderdaad een groep vormen. Weten welke ondergroepen in een groep G voorkomen, geeft inzicht in de structuur van G.

Bijvoorbeeld de symmetriegroep van de rechthoek is een ondergroep van de symmetriegroep D4 van het vierkant. De groepentabel van D4 staat boven.

De identiteit van de groep en de rotaties R = (id, r1, r2, r3) (in de groepentabel in het rood gemarkeerd) vormen een ondergroep, de cyclische groep C4. Het resultaat van elke twee samengestelde rotaties is nog steeds een rotatie; een rotatie kan ongedaan worden gemaakt door (dat wil zeggen is invers aan) de complementaire rotatie; 270° voor 90°, 180° voor 180° en 90° voor 270° (merk op dat rotatie in de tegenovergestelde richting niet is gedefinieerd). C4 is een ondergroep van D4.

Opdat H inderdaad een groep is, dus een ondergroep van G, is het nodig en voldoende te bewijzen dat voor alle alle elementen g, h \in H geldt dat g^{-1}h\in H.

De stelling van Lagrange houdt in dat in een eindige groep het aantal elementen van een ondergroep een deler is van het aantal elementen van de groep.

Nevenklassen[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie Nevenklasse voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

In veel situaties is het wenselijk om twee groepselementen als gelijk aan elkaar te beschouwen als zij van elkaar verschillen met een element van een gegeven ondergroep. Bijvoorbeeld, In D4 hierboven bijvoorbeeld komt het vierkant, zodra er een flip uitgevoerd, nooit meer terug naar de r2 configuratie door alleen de rotatie-operaties (en geen verdere flips) uit te voeren, dat wil zeggen dat de rotatie-operaties irrelevant voor de vraag of er dan niet een flip is uitgevoerd. Nevenverzamelingen worden gebruikt om dit inzicht te formaliseren: een ondergroep H definieert linker en rechter nevenverzamelingen, die als translaties van H door willekeurige groepselementen g kunnen worden beschouwd. In symbolische termen zijn de linker- en rechternevenverzameling van H, die g bevat respectievelijk

gH = \{gh | h \in H\} en Hg = \{hg | h \in H\} [28].

De nevenverzamelingen van enige ondergroep H vormen een partitie van G, dat wil zeggen dat de vereniging van alle linkernevenverzamelingen is gelijk is aan G en dat twee linkernevenverzamelingen of aan elkaar gelijk zijn of een lege doorsnede[29] hebben. Het eerste geval g1H = g2H treedt dan en slechts dan op als g_1^{-1}g_2\in H, dat wil zeggen indien de twee elementen in een element van H verschillen. Soortgelijke beweringen zijn van toepassing op de rechternevenverzamelingen van H.

De linker- en rechternevenverzamelingen van H kunnen al dan niet aan elkaar gelijk zijn. Als ze gelijk zijn, dan geldt voor alle g in G dat gH = Hg. In dat geval wordt H een normale deelgroep genoemd. Men kan dan simpelweg naar N verwijzen als de verzameling van nevenverzamelingen.

In D4, de symmetriegroep van het vierkant, zijn de linkernevenverzamelingen gR van de ondergroep R, bestaande uit de rotaties, ofwel gelijk aan R, als g een element van R zelf is, of anders gelijk aan U = fv R = (fv, fd, fh, fc) (gemarkeerd in groen). De ondergroep R is ook normaal, omdat fvR = U = R fv en hetzelfde geldt voor elk element anders dan fv.

Factorgroepen[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie factorgroep voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

In aanvulling op het negeren van de interne structuur van een deelgroep door haar nevenverzamelingen in beschouwing te nemen, is het ook wenselijk om deze grovere entiteit van een groepswet te voorzien, die men de factorgroep of quotiëntgroep noemt. Om dit mogelijk te maken moet de ondergroep normaal zijn. Gegeven enige normale ondergroep N, wordt de factorgroep gedefinieerd door

G / N = {gN, gG}, "G modulo N"[30]

Deze verzameling erft een groepsbewerking, die soms de nevenverzamelingsvermenigvuldiging of nevenverzamelingsoptelling wordt genoemd, van de oorspronkelijke groep G: (gN) • (hN) = (gh)N voor alle g en h in G. Deze definitie wordt ingegeven door het idee dat de afbeelding GG / N, die elk element g met haar nevenverzameling gN associeert, een groepshomomorfisme is, of door algemene abstracte overwegingen genaamd, die universele eigenschappen worden genoemd. De nevenverzameling eN = N dient hier als identiteitselement in deze groep, en het inverse element in de factorgroep van gN is (gN)−1 = (g−1)N.

R U
R R U
U U R
Groeptabel van de factorgroep D4 / R.

De elementen van de factorgroep D4 / R zijn R zelf, dat het identiteitselement representeerr, en U = fvR. De groepsbewerking op het quotiënt wordt rechts getoond. Bijvoorbeeld: UU= f vR • fvR = (f v • fv)R = R. Zowel de ondergroep R = (id, r1, r2, r3) als het bijbehorende quotiënt zijn abels, dit terwijl D4 niet abels is. Het construeren van grotere groepen uit kleinere, zoals D4 uit haar ondergroep R en het quotiënt |D4 / R wordt geabstraheerd door een notie die men het semi-direct product noemt.

Factor- en ondergroepen vormen samen een manier om elke groep door haar presentatie te beschrijven: elke groep is het quotiënt van de vrije groep over de generatoren van de groep, "quotiented" door de ondergroep van relaties. De tweevlaksgroep (dihedrale groep) D4 kan bijvoorbeeld worden gegenereerd door twee elementen r en f (bijvoorbeeld, r = r1, de rechterrotatie en f = fv de verticale (of elke andere) flip), wat betekent dat elke symmetrie van het vierkant een eindige samenstelling is van deze twee symmetrieën of hun inversen. Samen met de relaties

r 4 = f2 = (rf)2 = 1,[31]

wordt de groep volledig beschreven. Een presentatie van een groep kan ook worden gebruikt om Cayley-graaf te construeren, een middel dat wordt gebruikt om discrete groepen grafisch weer te geven.

Deel- en factorgroepen zijn op de volgende manier met elkaar verbonden: een deelverzameling H van G kan worden gezien als een injectieve afbeelding , dat wil zeggen enig element van het doelgroep heeft hooguit één element dat erop afbeeldt. De tegenhanger van injectieve afbeeldingen zijn surjectieve afbeeldingen (op elk element van het doel wordt afgebeeld), zoals de kanonieke afbeelding GG / N. De interpretatie van deel- en factorgroep in het licht van deze homomorfismen benadrukt het structurele concept dat inherent is aan deze definities, waarop in de inleiding wordt gezinspeeld. In het algemeen zijn homomorfismen noch injectief noch surjectief. Kern en afbeelding van groepshomomorfismen en de eerste isomorfismestelling adresseren dit fenomeen.

Voorbeelden en toepassingen[bewerken]

De fundamentaalgroep van een vlak minus een punt (vet) bestaat uit lussen rondom dit ontbrekende punt. Deze groep is isomorf met de gehele getallen.

Voorbeelden en toepassingen van groepen zijn er in overvloed. Een startpunt is de hierboven geïntroduceerde groep Z van de gehele getallen met optelling als groepsbewerking. Als men in plaats van optelling vermenigvuldigen als groepsbewerking neemt, verkrijgt men multiplicatieve groepen. Deze mulitplicatieve groepen zijn voorlopers van belangrijke constructies in de abstracte algebra.

Ook in vele andere wiskundige deelgebieden maakt men gebruik van groepen. Wiskundige objecten worden vaak onderzocht door groepen met deze objecten te associëren en vervolgens de eigenschappen van de corresponderende groepen te bestuderen. Henri Poincaré kwam bijvoorbeeld kwam op het spoor van wat nu de algebraïsche topologie wordt genoemd, door de invoering van de fundamentaalgroep[32]. Door het leggen van deze verbinding konden topologische eigenschappen, zoals nabijheid en continuïteit vertaald worden in eigenschappen van groepen. Elementen van de fundamentaalgroep worden bijvoorbeeld weergegeven door lussen. Het onderste plaatje aan de rechterkant laat enkele lussen in een vlak minus een punt zien. De blauwe lus wordt als nul-homotoop (en dus niet relevant) gezien, dit omdat deze lus continu tot een punt kan slinken. De aanwezigheid van het gat voorkomt echter dat de oranje lus ook tot een punt kan worden geslonken. De fundamentaalgroep van het vlak, waaruit een punt is verwijderd, blijkt, gegenereerd door de oranje lus (of enige andere lus die zich eenmaal rondom het gat windt, oneindig cyclisch te zijn. Op deze manier detecteert de fundamentaalgroep het gat.

In recentere toepassingen werkt deze invloed ook omgekeerd. Men bestudeert nu meetkundige constructies die worden onderbouwd door een groeptheoretische achtergrond. In dezelfde geest maakt de meetkundige groepentheorie gebruik van meetkundige concepten, bijvoorbeeld in de studie van hyperbolische groepen.[33] Andere deelgebieden, waar groepen een cruciale rol spelen zijn de algebraïsche meetkunde en de getaltheorie.[34].

Naast de bovengenoemde theoretische toepassingen, bestaan er vele praktische toepassingen van groepen. Cryptografie bijvoorbeeld berust op een benadering gebaseerd op de abstracte groepentheorie, samen met algoritmische kennis, verkregen uit de computationele groepentheorie, in het bijzonder wanneer deze wordt geïmplementeerd voor eindige groepen[35]. Toepassingen van de groepentheorie beperken zich niet tot de wiskunde, ook de natuurwetenschappen, zoals de natuurkunde, de scheikunde en de n informatica profiteren van het concept.

Getallen[bewerken]

Veel getalsystemen, zoals die van de gehele - en de rationale getallen beschikken over een natuurlijk gegeven groepsstructuur. In sommige gevallen, zoals bij de rationale getallen, leiden zowel de operaties optellen en vermenigvuldigen tot een groepsstructuur. Dergelijke getallensystemen zijn voorlopers van meer algemene algebraïsche structuren die bekendstaan als ringen en velden. Verdere abstract algebraïsche concepten, zoals modulen, vectorruimten en algebra's vormen ook groepen.

Gehele getallen[bewerken]

De groep van gehele getallen Z onder optelling, aangeduid met (Z, +), is hierboven beschreven. De gehele getallen, met in plaats daarvan de operatie van vermenigvuldiging in plaats van optellen, (Z, ·) vormt geen groep. Aan de groepsaxioma's van geslotenheid, associativiteit en identiteit wordt voldaan, maar er bestaat geen inverse: als (a = 2 bijvoorbeeld een geheel getal is, is de enige oplossing voor de vergelijking a· b = 1 in dit geval b = 1/2, dat is echter een rationaal- en geen geheel getal. Vandaar dat niet elk element van Z een (multiplicatieve) inverse heeft.

Rationale getallen[bewerken]

Het verlangen naar het bestaan van een multiplicatieve inverse suggereert breuken in ogenschouw te nemen

a/b

Breuken van gehele getallen (waar b niet-nul is) staan bekend als rationale getallen. De verzameling van al deze breuken wordt doorgaans aangeduid met Q. Er is nog een klein obstakel voor (Q, ·), zijn de rationale getallen uitgerust met de groepsbewerking vermenigvuldiging wel een groep: dit omdat het rationale getal 0 geen multiplicatieve inverse heeft (dat wil zeggen, er is geen x zodanig dat x · 0 = 1, (Q, ·) is daarom geen groep.

De verzameling van alle niet-nulzijnde rationale getallen Q \{0} = {qQ, q ≠ 0) vormt echter wel een abelse groep onder vermenigvuldiging. Deze groep wordt aangeduid door (Q \{0}, ·). De axioma's van associativiteit en het identiteitselement volgen uit de eigenschappen van de gehele getallen. Het axioma van geslotenheid gaat op nadat men het getal nul heeft verwijderd, dit omdat het product van twee niet-nulzijnde rationale getallen nooit nul is. Tenslotte is de inverse van a/b gelijk aan b/a, dus ook aan het axioma van het inverse element wordt voldaan.

De rationale getallen (inclusief 0) vormen ook een groep onder optelling. De verwevenheid van de optellings- en vermenigvuldigen groepsbewerkingen levert ingewikkeldere wiskundige structuren op die ringen worden genoemd en waarbij deling mogelijk is, zoals in Q-velden, die een centrale positie in de abstracte algebra innemen. Groepstheoretische argumenten liggen daarom ten grondslag aan de theorie van deze entiteiten.

Modulair rekenen[bewerken]

Voor elk priemgetal p, levert modulair rekenen de multiplicatieve groep van gehele getallen modulo p[36]. Haar elementen zijn gehele getallen die niet deelbaar zijn door p, modulo p, dat wil zeggen dat twee getallen als gelijkwaardig worden beschouwd, indien hun verschil deelbaar is door p. Voor bijvoorbeeld p = 5 zijn er precies vier groepselementen 1, 2, 3 en 4; veelvouden van 5 zijn uitgesloten en 6 en -4 zijn beide gelijk aan 1, enz. De groepsbewerking wordt gegeven door vermenigvuldiging. Omdat het gebruikelijke product 16 gelijkwaardig is aan 1, is bijvoorbeeld 4×4 gelijk aan 1. 5 deelt immers 16-1 = 15 aangeduid door

16 ≡ 1 (mod 5).

Dat p een priemgetal is zorgt ervoor dat het product van twee gehele getallen, die geen van beide deelbaar zijn door p, niet deelbaar is door p. Om die reden is de aangegeven verzameling van klassen gesloten onder vermenigvuldiging. Zoals gebruikelijk voor een multiplicatieve groep, is het identiteitselement gelijk aan 1. De associativiteit volgt uit de overeenkomstige eigenschap van de gehele getallen. Tenslotte vereist het groepsaxioma van het inverse element, dat gegeven een geheel getal a dat niet deelbaar is door p, er een geheel getal b bestaat, zodanig dat

a · b ≡ 1 (mod p), dat wil zeggen dat p het verschil a · b - 1 deelt.

De inverse b kan worden gevonden door de identiteit van Bezout te gebruiken en door het feit dat de grootste gemene deler ggd(a, p) gelijk is aan 1 [37]. In het geval hierboven dat p = 5, is de inverse van 4 gelijk aan 4, en is de inverse van 3 gelijk aan 2, dit aangezien 3 · 2 = 6 ≡ 1 (mod 5). Nu is aan alle groepsaxioma's voldaan. Eigenlijk is dit voorbeeld gelijkwaardig aan (Q\ {0}, ·) hierboven, omdat het de multiplicatieve groep van niet-nulzijnde elementen in het eindige veld Fp, aangeduid met Fp.×[38] blijkt te zijn. Deze groepen zijn van cruciaal belang voor de publieke sleutelcryptografie.

Cyclische groepen[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie Cyclische groep en Abelse groep voor de hoofdartikelen over dit onderwerp.
De 6e complexe eenheidswortels vormen een cyclische groep. z is een primitief element, maar z2 is dit niet, omdat de oneven machten van z geen macht van z2 zijn.

Een cyclische groep is een groep, waarvan alle elementen machten (wanneer de groepsbewerking met het symbool voor een vermenigvuldiging wordt geschreven, kan de term 'multiplicatief' worden gebruikt) van a zijn [39]. In multiplicatieve notatie zijn de elementen van de groep: ..., a−3, a−2, a−1, a0 = e, a, a2, a3, ..., waar a2 voor aa en a–3 voor a−1a−1a−1=(aaa)−1 staat etc. Zo'n element a wordt een generator of een primitief element van de groep genoemd.

Sommige cyclische groepen hebben een oneindig aantal elementen. In deze groepen zijn voor elk niet-nulzijnd element a, alle machten van a verschillend; ondanks de naam "cyclische groep", zijn de machten van de elementen niet cyclisch. Een oneindige cyclische groep is isomorf aan (Z, +), de groep van de gehele getallen onder optelling[40]. Aangezien (Z, +) abels is, is elke oneindige cyclische groep dit ook.

De studie van abelse groepen is een volwassen studiegebied, waarbinnen men onder andere de hoofdstelling van eindig voortgebrachte abelse groepen bestudeert. Veel groep-gerelateerde begrippen, zoals centrum en commutator, beschrijven de mate waarin een bepaalde groep niet abels is [41].

Symmetriegroepen[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie Symmetriegroep voor het hoofdartikel over dit onderwerp.
De (2,3,7) driehoeksgroep, een hyperbolische groep, werkt in op deze betegeling van het hyperbolische vlak.

Symmetriegroepen zijn groepen die bestaan uit symmetrieën van gegeven wiskundige objecten - al of niet van meetkundige aard, zoals bijvoorbeeld de symmetriegroep van het vierkant of van algebraïsche aard, zoals veeltermvergelijkingen en hun oplossingen[42]. In conceptuele zin kan groepentheorie worden opgevat als de studie van symmetrie. In de wiskunde vereenvoudigden symmetrieën de studie van meetkundige of analytische objecten aanzienlijk. Van een groep zegt men dat deze wordt op een ander wiskundig object X inwerkt, als er voor elk groepselement in overeenstemming met de groepswetten een bijbehorende bijectie van X is. In de illustratie links werkt een element van orde 7 van de (2,3,7) driehoeksgroep in op de betegeling door de gemarkeerde verwrongen driehoeken (en de anderen ook) te verwisselen. Door een groepsbewerking raakt het groepspatroon verbonden met de structuur van het object, waarop de groep inwerkt.

In scheikundige deelgebieden, zoals de kristallografie, beschrijven ruimte- en puntgroepen moleculaire- en kristalsymmetrieën. Deze symmetrieën liggen ten grondslag aan het scheikundige en natuurkundige gedrag van deze systemen. De groepentheorie vereenvoudigt de kwantummechanische analyse van deze eigenschappen[43]. Groepentheorie wordt bijvoorbeeld gebruikt om aan te tonen dat optische overgangen tussen bepaalde kwantumniveaus niet kunnen optreden, simpelweg omdat de symmetrie van de betrokken toestanden dit niet toestaat.

Niet alleen zijn groepen nuttig om de implicaties van symmetrieën in moleculen te beoordelen, maar verrassend genoeg voorspellen zij ook dat moleculen soms hun symmetrie kunnen veranderen. Het Jahn-Teller-effect is een vervorming van een molecuul van hoge symmetrie, wanneer deze molecule een bepaalde grondtoestand van lagere symmetrie aanneemt uit een verzameling van mogelijke grondtoestanden, die aan elkaar zijn gerelateerd door de symmetrie-operaties van dit molecuul.[44][45]

Op gelijkaardige wijze helpt de groepentheorie veranderingen in de natuurkundige eigenschappen te voorspellen, die plaatsvinden wanneer een materiaal een faseovergang ondergaat, bijvoorbeeld van een kubische naar een tetrahedrale kristallijne vorm. Een voorbeeld hiervan zijn ferro-elektrische materialen, waar de verandering van een para-elektrische naar een ferro-elektrische toestand optreedt bij de Curie-temperatuur. Deze verandering is gerelateerd aan een verandering van de hoger-symmetrische para-elektrische toestand naar de lager-symmetrische ferro-elektrische toestand. Dit gaat vergezeld door een zogenoemde zachte fonon modus, een vibrationeel roostermodus, die bij de faseovergang naar een nulfrequentie gaat[46].

Zulke spontane symmetriebreking heeft verdere toepassing gevonden in de elementaire deeltjesfysica, waar haar voorkomen is gerelateerd aan de verschijning van Goldstone-bosonen.

Eindige symmetriegroepen, zoals de Mathieu-groepen worden gebruikt in de codeertheorie, die op zijn beurt wordt toegepast in foutcorrectie algoritmen voor verzonden data en in CD-spelers[47]. Een andere toepassing is de differentiaal Galois-theorie, die functies karakteriseert, die antiafgeleiden van een voorgeschreven vorm hebben, en die daardoor groep-theoretische criteria geeft wanneer oplossingen van bepaalde differentiaalvergelijkingen zich al of niet goed-gedragen. Meetkundige eigenschappen, die stabiel blijven onder groepsbewerkingen, worden onderzocht in de meetkundige invariantentheorie[48]

Symmetrie[bewerken]

Iedere groep heeft een bepaalde symmetrie. Dat betekent het volgende. Neem twee geconjugeerde elementen a en b van de groep G. Dan is er een permutatie \pi\ van G, zodat G en \pi\ (G) isomorf zijn, die a op b afbeeldt. Op die manier is G symmetrisch.

Algemene lineaire groepen en representatietheorie[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie Algemene lineaire groep en Representatietheorie voor de hoofdartikelen over dit onderwerp.
Twee vectoren (de linker afbeelding) vermenigvuldigd met matrices (de middelste en de rechtse illustraties). De middelste afbeelding geeft een rotatie van 90° met de klok mee aan, terwijl de meest rechtse de x-coördinaat met een factor 2 uitrekt.

Matrixgroepen bestaan uit matrices samen met de operatie matrixvermenigvuldiging. De algemene lineaire groep GL( n, R) bestaat uit alle inverteerbaar n-bij-n matrices met reële invoercellen.[49] Ondergroepen van een algemene lineaire groep noemt men matrixgroepen of lineaire groepen. Het hierboven genoemde tweevlakshoekgroep voorbeeld kan worden gezien als een (zeer kleine) matrixgroep. Een andere belangrijke matrixgroep is de speciale orthogonale groep SO(n). Deze groep beschrijft alle mogelijke rotaties in n dimensies. Via Euler-hoeken worden rotatiematrices gebruikt in de computergraphics.[50]

Representatietheorie is zowel een toepassing van het begrip groep alsook belangrijk voor een dieper begrip van groepen.[51][52] Het bestudeert een groep door haar groepsbewerkingen op andere ruimten te bestuderen. Een brede klasse van groepsrepresentaties zijn lineaire representaties, dat wil zeggen dat de groep inwerkt op een vectorruimte, zoals de driedimensionale Euclidische ruimte R3. Een representatie van G op een n-dimensionale reële vectorruimte is een groepshomomorfisme

ρ: GGL(n, R)

van de groep naar de algemene lineaire groep. Op deze manier vertaalt de groepsbewerking, die ook abstract kan zijn gegeven, naar de vermenigvuldiging van matrices, waardoor deze toegankelijk wordt voor expliciete berekeningen.

Gegeven een groepsbewerking, geeft dit extra middelen om de wiskundige objecten, waarop de groep inwerkt, te bestuderen. Aan de andere kant levert het ook informatie over de groep op. Groepsrepresentatie is een ordenend principe in de theorie van de eindige groepen, de Lie-groepen, de algebraïsche groepen en de topologische groepen, vooral (lokaal) compacte groepen[51][53].

Galoisgroepen[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie Galoisgroep voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Galoisgroepen zijn ontwikkeld om veeltermvergelijkingen te helpen oplossen door hun symmetrie-eigenschappen in beschouwing te nemen.[54][55] De oplossingen van de vierkantsvergelijking ax2 + bx + c = 0 worden bijvoorbeeld gegeven door

x = (negative b plus of minus de squareroot van (b kwadraat min 4 ac)) over 2a

Het verwisselen van "+" en "-" in deze uitdrukking, waardoor de twee oplossingen van de vergelijking worden verwisseld, kan als een (eenvoudige) groepsoperatie worden gezien. Voor derdegraads-en en vierdegraadsvergelijkingen zijn vergelijkbare formules bekend, maar deze bestaan in het algemeen niet voor vijfdegraadsvergelijkingen en hoger.[56] Abstracte eigenschappen van Galoisgroepen geassocieerd met veeltermen (met name hun oplosbaarheid) geven een criterium voor veeltermen, waarvan alle oplossingen uit te drukken zijn door radicalen, dat wil zeggen oplossingen die zijn uit te drukken in een vorm, waarbij uitsluitend gebruik wordt gemaakt van optelling, vermenigvuldigen, en wortels, vergelijkbaar met de formule hierboven.[57]

Dit probleem kan worden aangepakt door een verschuiving naar veldtheorie, waarbij men het splitsingsveld van een polynoom in beschouwing neemt. Moderne Galoistheorie veralgemeent het bovenstaande type Galoisgroepen van velduitbreidingen en legt - door middel van de hoofdstelling van de Galoistheorie - een precieze relatie tussen de velden en groepen vast, daarmee nogmaals de alomtegenwoordigheid van groepen in de wiskunde onderstrepend.

Eindige groepen[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie Eindige groep voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een groep wordt eindig genoemd als hij een eindig aantal elementen heeft. Het aantal elementen wordt de orde van de groep G [58] genoemd. Een belangrijke klasse is de symmetrische groepen SN, de groepen van permutaties van N letters. De symmetrische groep op 3 letters S3 is bijvoorbeeld de groep, die bestaat uit alle mogelijke verwisselingen van de drie letters ABC, dat wil zeggen bevat de elementen ABC, ACB, ..., tot CBA, in totaal 6 (of 3 faculteit) elementen. Deze klasse is van fundamenteel belang in zoverre als enige eindige groep kan worden uitgedrukt als een ondergroep van een symmetrische groep SN voor een geschikt geheel getal N (stelling van Cayley). Parallel aan de groep van symmetrieën van het kwadraat hierboven, S3 kan ook worden geïnterpreteerd als de groep van symmetrieën van een gelijkzijdige driehoek.

De orde van een element a in een groep G is het kleinste positieve gehele getal n, zodanig dat a n = e, waar a n

\underbrace{{} \ a \ \cdots\ a\ {}}_{n \text{ factoren}},

vertegenwoordigt, dat wil zeggen de toepassing van de operatie • op n kopieën van a. (Als • vermenigvuldiging vertegenwoordigt, dan komt an overeen met de n-de macht van a.) In oneindige groepen hoeft een dergelijke n niet te bestaan, in welk geval men zegt dat de orde van a oneindig is. De orde van een element is gelijk aan de orde van de cyclische ondergroep die door dit element wordt gegenereerd.

Meer geavanceerde telling technieken om bijvoorbeeld nevenklassen te tellen, laten meer precieze stellingen over eindige groepen toe: de Stelling van Lagrange stelt dat voor een eindige groep G de orde van enige eindige ondergroep H de orde van G verdeelt. De stellingen van Sylow geeft een gedeeltelijke omkering.

De dihedrale groep is een eindige groep van orde 8. De orde van r1 is 4, net zoals de orde van de ondergroep R die de groep genereert. De orde van de reflectie elementen fv enz. is 2. Beide orden delen 8, zoals voorspeld door de stelling van Lagrange. De groepen Fp× hebben orde p - 1.

Classificatie van eindige enkelvoudige groepen[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie Classificatie van eindige enkelvoudige groepen voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Wiskundigen streven vaak naar een volledige classificatie (of lijst) van een wiskundig begrip. In de context van eindige groepen, leidt dit doel al snel tot moeilijke en diepe wiskunde. Volgens de stelling van Lagrange, zijn eindige groepen van orde p, een priemgetal, noodzakelijkerwijs cyclische (abelse) groepen, Zp. Van groepen van orde p2 kan men aantonen dat zij abels zijn, een stelling die echter niet veralgemeend kan worden naar orde p3, zoals de niet-abelse groep D4 van orde 8 = 23 hierboven aantoont[59][60]. computeralgebrasystemen kunnen worden gebruikt voor de lijst van kleine groepen, maar er is geen classificatie voor alle eindige groepen. Een tussentijdse stap is de classificatie van alle eindige enkelvoudige groepen. Een niet-triviale groep wordt enkelvoudig genoemd als zijn enige normale deelgroepen de triviale groep en de groep zelf zijn. De stelling van Jordan-Hölder gebruikt eindige enkelvoudige groepen als de bouwstenen voor alle eindige groepen[61].

De classificatie van alle eindige enkelvoudige groepen was een belangrijke prestatie in de hedendaagse groepentheorie. De winnaar van de Fields-medaille in 1998, Richard Borcherds slaagde er in om de monsterlijke maneschijn vermoedens te bewijzen, een verrassende en diepe relatie tussen de grootste eindige enkelvoudige sporadische groep, de -"monstergroep"- met zekere modulaire functies, een stuk klassieke complexe analyse, en de snaartheorie, een theorie die wordt geacht de beschrijving van een groot aantal natuurkundige verschijnselen in zich te verenigen.[62]

Hogere groepentheorie[bewerken]

Het enumeratieprobleem voor eindige groepen is herleidbaar tot het enumeratieprobleem van eindige enkelvoudige groepen.

Een eindige enkelvoudige groep behoort tot een van de volgende 5 families van groepen:

Alleen de familie der sporadische groepen is eindig.

Groepen met additionele structuur[bewerken]

Veel groepen zijn tegelijkertijd groepen en voorbeelden van andere wiskundige structuren. In de taal van de categorietheorie zijn ze groepsobjecten in een categorie, wat betekent dat ze objecten zijn (dat wil zeggen, voorbeelden van een andere wiskundige structuur) die verschijnen met transformaties (morfismen genoemd), die de groepsaxioma's nabootsen. Elke groep, zoals hierboven gedefinieerd, is bijvoorbeeld ook een verzameling, een groep is dus een groepsobject in de categorie van verzamelingen, Set.

Topologische groepen[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie Topologische groep voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Sommige topologische ruimten kunnen zijn uitgerust met een groepswet. Om de groepswet en de topologie goed met elkaar te verweven, moeten de groepsbewerkingen continue functies zijn, dat wil zeggen dat gh en g-1 niet wild mogen variëren als g en h slechts een klein beetje verschillen. Dergelijke groepen worden topologische groepen. Zij zijn de groepsobjecten in de categorie van topologische ruimten[63] De elementairste voorbeelden zijn de reële getallen R onder optelling, (R\ {0}, ·), en op soortgelijke wijze enig ander topologisch veld, zoals de complexe- of de p-adische getallen. Al deze groepen zijn lokaal compact en hebben dus Haar-maten en kunnen bestudeerd worden met behulp van de harmonische analyse.

De eerdere biedt een abstract formalisme van invariante integralen. In het geval van reële getallen betekent invariantie bijvoorbeeld:

\int f(x)\,dx = \int f(x+c)\,dx

voor elke constante c. Matrixgroepen over deze velden vallen onder dit regime, net zoals adele-ringen en adelische algebraïsche groepen, beide begrippen die fundamenteel zijn in de getaltheorie[64]. Galoisgroepen van oneindige velduitbreidingen, zoals de absolute Galoisgroep, kunnen ook worden uitgerust met een topologie, de zogenaamde Krull-topologie. Deze is op zijn beurt centraal in de veralgemening van de hierboven geschetste aansluiting van velden en groepen tot oneindige velduitbreidingen[65]. Een geavanceerde veralgemening van dit idee, aangepast aan de behoeften van de algebraïsche meetkunde, is de étale fundamentaalgroep[66].

Lie-groepen[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie Lie-groep voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Lie-groepen (zo genoemd ter ere van de Noorse wiskundige Sophus Lie) zijn groepen die ook een variëteitsstructuur hebben, dat wil zeggen dat het ruimten zijn, die er lokaal uitzien als een Euclidische ruimte van de geëigende dimensie[67] Ook hier moet de additionele structuur, hier de variëteitsstructuur, verenigbaar zijn, dat wil zeggen dat de afbeeldingen die corresponderen met vermenigvuldiging en de inverse glad moeten zijn.

Een standaard voorbeeld is de hierboven geïntroduceerde algemene lineaire groep: het is een open deelverzameling van de ruimte van alle n-bij-n matrices, omdat hij wordt gegeven door de ongelijkheid

det (A) ≠ 0,

waar A een n-bij-n matrix aanduidt[68].

Lie-groepen zijn van fundamenteel belang in de natuurkunde: de stelling van Noether verbindt continue symmetrieën met de behoudswetten[69]. Zowel rotatie als translatie in ruimte en tijd zijn fundamentele symmetrieën van de wetten van de mechanica. Zij kunnen bijvoorbeeld worden gebruikt om eenvoudige modellen te construeren - waarbij bijvoorbeeld axiale symmetrie aan een situatie wordt opgelegd, wat doorgaans zal leiden tot een aanzienlijke vereenvoudiging van de vergelijkingen, die men moet oplossen om een natuurkundige beschrijving te geven. Een ander voorbeeld zijn de Lorentz-transformaties, die metingen van tijd en snelheid van twee ten opzichte van elkaar in beweging zijnde waarnemers aan elkaar relateert. Ze kunnen worden gededuceerd op een zuiver groepstheoretische manier, door de transformaties uit te drukken als een draaisymmetrie van de Minkowski-ruimte. Deze Minkowski-ruimte fungeert - in geval van significante zwaartekracht - als een model van de ruimtetijd in de speciale relativiteitstheorie.[70] De volledige symmetriegroep van de Minkowski-ruimte, dat wil zeggen inclusief translaties, staat bekend als de Poincaré-groep. Door het bovenstaande speelt deze een centrale rol in de speciale relativiteitstheorie en, bij implicatie, voor de kwantumveldentheorieën[71]. Symmetrieën die per locatie variëren staan centraal in de moderne beschrijving van de fysieke interacties met behulp van ijktheorieën[72].

Veralgemeningen[bewerken]

In de abstracte algebra kunnen meer algemene wiskundige structuren worden gedefinieerd door een aantal van de groepsaxioma's, die een groep definiëren, af te zwakken[73][74][75]. Als men bijvoorbeeld de eis, dat elk element een inverse moet hebben, laat vallen, wordt de dan resulterende algebraïsche structuur een monoïde genoemd. De natuurlijke getallen N (inclusief 0) vormen voor de groepsbewerking optelling een monoïde, net zoals de niet-nulzijnde gehele getallen doen onder de groepsbewerking vermenigvuldiging (Z \{0}, · ), zie hierboven. Er is een algemene methode om op formele wijze inversen van elementen op te tellen bij elke (abelse) monoïde, bijna op dezelfde manier als Q \{0}, ·) wordt afgeleid van (Z\ (0), ·). Het resultaat van deze formele methode staat bekend als de Grothendieck-groep.

Groepoïden zijn vergelijkbaar met groepen, behalve dat de samenstelling ab niet hoeft te worden gedefinieerd voor alle a en b. Zij ontstaan in de studie van meer ingewikkelde vormen van symmetrie, vaak in topologische - en analytische structuren, zoals de fundamentele groupoïde. Ten slotte is het mogelijk om elk van deze concepten te veralgemenen door de binaire operatie te vervangen door een operatie met een willekeurige ariteit (dat wil zeggen een operatie waarbij n argumenten in het spel zijn). Met de juiste veralgemening van de groepsaxioma's geeft dit aanleiding tot een groep met ariteit, n[76].

Zie ook[bewerken]

Voetnoten[bewerken]

  1. Herstein, 1975, § 2, blz. 26
  2. Hall, 1967, §1.1, blz. 1" "Het idee van een groep is er een dat de gehele zuivere en toegepaste wiskunde doordringt."
  3. Lang, 2005, App. 2, p. 360
  4. Herstein, 1975, §2.1, pag. 27
  5. Herstein, 1975, §2.6, pag. 54
  6. Wussing, 2007
  7. Kleiner, 1986
  8. Smith, 1906
  9. Galois, 1908
  10. Kleiner, 1986, p. 202
  11. Cayley, 1889
  12. Wussing, 2007, § III.2
  13. Lie, 1973
  14. Kleiner, 1986, pag. 204
  15. Wussing, 2007, § I.3.4
  16. Jordan, 1870
  17. von Dyck, 1882
  18. Curtis, 2003
  19. Mackey, 1976
  20. Borel, 2001
  21. Aschbacher, 2004
  22. Ledermann, 1953, §1.2, pag. 4-5
  23. a b Lang, 2005, §II.1, blz. 17))
  24. Ledermann, 1973, §I.1, blz. 3
  25. Lang, 2002, §I.2 blz. 7
  26. Lang, 2005, § II.3, p. 34
  27. Lang, 2005, §II.1, blz. 19
  28. Lang, 2005, § II.4, blz. 41
  29. Lang, 2002, §I.2, blz. 12
  30. Lang, 2005, §II.4, blz. 45))
  31. Lang, 2002, §I.2, blz. 9
  32. Hatcher, 2002, hoofdstuk I, blz. 30
  33. Coornaert, Delzant, Papadopoulos, 1990
  34. bijvoorbeeld klassegroepen en Picard-groepen; zie Neukirch, 1999, in het bijzonder §§I.12 en I.13
  35. Seress, 1997
  36. Lang, 2005, hoofdstuk VII))
  37. Rosen, 2000, p. 54 (Stelling 2.1)
  38. Lang, 2005, § VIII.1, blz. 292))
  39. Lang, 2005, §II.1, p. 22
  40. Lang, 2005, §II.1, p. 22 (voorbeeld 11)
  41. 2002, loc = § I.5, blz. 26, 29))
  42. Weyl, 1952
  43. Conway, Delgado Friedrichs, Huson, Thurston, 2001)). Zie ook Bishop, 1993
  44. The Jahn-Teller Effect, Isaac Bersuker, pag 2, 0521822122, Cambridge University Press, 2006))
  45. Jahn, Teller, 1937))
  46. Structure and Dynamics: an atomic view of materials, Martin T Dove, pag 265, 0198506783, Oxford University Press, 2003))
  47. Welsh, 1989
  48. Mumford, Fogarty, Kirwan, 1994))
  49. Lay, 2003
  50. Kuipers, 1999))
  51. a b Fulton, Harris, 1991
  52. Serre, 1977
  53. Rudin, 1990))
  54. Robinson, 1996, loc = p. viii
  55. Artin, 1998
  56. Lang, 2002, Hoofdstuk VI)) (zie met name blz. 273 voor concrete voorbeelden)
  57. Lang, 2002, p. 292 (Stelling VI.7.2
  58. Kurzweil, Stellmacher, 2004
  59. Artin, 1991, stelling 6.1.14
  60. zie Lang, 2002, p. 77 voor soortgelijke resultaten
  61. Lang, 2002, § I.3, p.22))
  62. Ronan, 2007
  63. Husain, 1966
  64. Neukirch, 1999
  65. Shatz, 1972))
  66. Milne, 1980))
  67. Warner, 1983))
  68. Borel, 1991))
  69. Goldstein,1980
  70. Weinberg, 1972
  71. Naber, 2003
  72. Becchi, 1997
  73. Mac Lane, 1998))
  74. Denecke, Wismath, 2002
  75. Romanowska, Smith, 2002
  76. Dudek, 2001

Referenties[bewerken]

Primaire referenties[bewerken]

  • (en) Artin, Michael, Algebra, Prentice Hall, 1991, isbn=978-0-89871-510-1, hoofdstuk 2 bevat een uiteenzetting op de bachelor van diverse in dit artikel besproken begrippen.
  • (en) Devlin, Keith, The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible, 2000, Owl Books, isbn=978-0-8050-7254-9, hoofdstuk 5 geeft een voor de leek toegankelijke uitleg van wat groepen precies zijn.
  • (en) George G. Hall, Applied group theory, American Elsevier Publishing Co., Inc., 1967, New York, een elementaire inleiding.
  • (en) Herstein, Israel Nathan, Abstract algebra, Prentice Hall Inc., Upper Saddle River, NJ, 3e editie, isbn=978-0-13-374562-7, 1996.
  • (en) Herstein, Israel Nathan, Topics in algebra, Xerox College Publishing, Lexington, Mass. 2e editie, 1975.
  • (en) Lang. Serge, Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised 3e ed.), New York: Springer-Verlag, isbn 978-0-387-95385-4, 2002.
  • (en) Lang. Serge, Undergraduate Algebra, Springer-Verlag, Berlin, New York, 3e editie, isbn=978-0-387-22025-3, 2005.
  • (en) Ledermann, Walter, Introduction to the theory of finite groups, Oliver and Boyd, Edinburgh and London, 1953.
  • (en) Ledermann, Walter, Introduction to group theory, Barnes and Noble, New York, 1973.
  • (en) Robinson, Derek John Scott, A course in the theory of groups, Springer-Verlag, Berlin, New York, 1996, isbn=978-0-387-94461-6.

Secundaire referenties[bewerken]