Grootcirkelnavigatie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Grootcirkelnavigatie is het navigeren naar een bepaalde positie langs de grootcirkel (orthodroom). Als men de kortste van de beide routes over de grootcirkel op een bol neemt, is dit de kortste afstand tussen die twee punten. Grootcirkelnavigatie wordt vooral toegepast bij grotere afstanden. Bij kortere afstanden weegt de geringe bekorting ten opzichte van loxodroomnavigatie niet op tegen de nadelen. Deze nadelen zijn dat de grootcirkel op hogere breedte komt, dichter in de buurt van de polen, dat de koers continu verandert en dat de grootcirkel geen rechte lijn is in de mercatorkaart.

Het grootcirkeltraject kan worden bepaald in een gnomonische kaart of met behulp van boldriehoeksmeting.

Boldriehoeksmeting[bewerken]

Verheid
De grootcirkelafstand AB kan bepaald worden aan de hand van boldriehoek APnB met behulp van de eerste cosinusregel. Daarbij is de zijde APn het complement van de breedte φA, de zijde PnB het complement van de breedte φB en de hoek ∠Pn het lengteverschil Δ λAB tussen vertrekpunt A en bestemming B.
Koers
Met ook de zijde AB bekend kan de koers van afvaart GrKafv worden bepaald met wederom de eerste cosinusregel.
Vertex
Om de vertex te bepalen kan geen gebruik worden gemaakt van deze regel, aangezien zowel zijde AV als PnV onbekend zijn. De laatste is echter de loodboog op de grootcirkel en bij rechthoekige boldriehoeken zoals APnV kan de Regel van Neper worden gebruikt. Met de hoek ∠A (= GrKafv) en de breedte φA kan zowel de breedte als de lengte van V worden bepaald.

Met boldriehoeksmeting kan de verheid (afstand) tussen twee punten worden bepaald, de koers van afvaart, de vertex en eventueel een samengesteld traject als de breedte te hoog wordt.

Verheid[bewerken]

De verheid AB tussen punt A met breedte φA en lengte λA en punt B met breedte φB en lengte λB kan bepaald worden aan de hand van boldriehoek APnB met behulp van de eerste cosinusregel. In graden geldt:

 \cos AB = \cos (90^\circ- \boldsymbol{\varphi}_A) \cdot \cos (90^\circ- \boldsymbol{\varphi}_B)  +  \sin (90^\circ-\boldsymbol{\varphi}_A) \cdot  \sin (90^\circ-\boldsymbol{\varphi}_B) \cdot \cos ( \lambda_B - \lambda_A )

In zeemijlen wordt de verheid dan:

 V_{grc} = 60  \cdot \arccos (\cos AB)

Koers[bewerken]

De koers van afvaart GrKafv kan bepaald worden met:

 K = \arccos \frac{ \sin \varphi_B - \sin \varphi_A \cdot \cos AB}{\cos \varphi_A \cdot \sin AB}

waarbij de koers gelijk is aan K als λB - λA > 0, anders geldt GrK = 360º - K.

Door A en B te verwisselen kan de koers van aankomst worden berekend waarbij de tegenkoers moet worden genomen van de uitkomst. De hoekverandering van de grootcirkel ten opzichte van de meridianen over A en B wordt convergentie genoemd.

Vertex[bewerken]

De vertex V is het punt waar de grootcirkel de hoogste breedte bereikt. Dit is het punt waar de meridiaan de grootcirkel loodrecht snijdt. Het lengteverschil tussen het punt van afvaart en de vertex kan gevonden worden met:

 \tan \Delta  \lambda_{AV} = \frac{ 1}{\tan GrK \cdot \sin \varphi_A}

Voor de lengte van de vertex λV geldt dan:

 \lambda_V = \lambda_AV + \Delta  \lambda_{AV}

De breedte van de vertex φV is te vinden met:

 \tan \varphi_V = \frac{ \tan \varphi_A}{\cos \Delta  \lambda_{AV} }

Snijpunt parallel[bewerken]

De lengte λP waar de grootcirkel een parallel met breedte φP snijdt, kan gevonden worden met:

 \cos \Delta \lambda_{PV} = \frac{ \tan \varphi_P}{\tan \varphi_V }

De grootcirkel snijdt de parallel bij twee lengtes:

 \lambda_P = \lambda_V \pm \lambda_{PV}

Snijpunt meridiaan[bewerken]

De breedte φP waar de grootcirkel een meridiaan met lengte λP snijdt, kan gevonden worden met:

 \tan \varphi_P = \tan \varphi_V \cdot \cos \Delta \lambda_{PV}

Passeerafstand tot een positie[bewerken]

De kortste naderingsafstand KNA van de grootcirkel tot een bepaalde positie R wordt bepaald met:

 \sin KNA = \frac{ \sin \Delta \varphi_{RP} \cdot \cos \varphi_V}{\cos \varphi_P }

waaruit KNA in graden volgt. Door deze met 60 te vermenigvuldigen, volgt de afstand in zeemijlen.

Samengesteld traject[bewerken]

Een samengesteld traject bestaande uit een grootcirkel AC, een loxodroom CD en een grootcirkel DB. De beide grootcirkels volgen niet de rechtstreekse grootcirkel tussen A en B.

Als de grootcirkel de reis naar te hoge breedte brengt, kan een samengesteld traject (composite track) worden gevolgd. Daarbij wordt van vertrekpunt A een grootcirkel gevolgd die in C loodrecht raakt aan de bewuste parallel φV. Deze parallel wordt gevolgd tot het raakpunt D met de tweede grootcirkel, waarna men deze volgt tot de bestemming B.

De lengtegraad van punt C kan gevonden worden met:

 \cos \Delta \lambda_{AC} = \frac{ \tan \varphi_A}{\tan \varphi_V }

De lengtegraad van punt D kan gevonden worden met:

 \cos \Delta \lambda_{DB} = \frac{ \tan \varphi_B}{\tan \varphi_V }

De eerste grootcirkelafstand kan bepaald worden met:

 \cos AC = \frac{ \sin \varphi_A}{\sin \varphi_V }

De twee grootcirkelafstand volgt uit:

 \cos DB = \frac{ \sin \varphi_B}{\sin \varphi_V }

De afstand CD is te bepalen aan de hand van loxodroomnavigatie:

 V_{CD} = 60 \cdot \Delta \lambda_{CD} \cdot \cos \varphi_V

Daarbij geldt dat :

 \Delta \lambda_{CD} = \Delta \lambda_{AB} - \Delta \lambda_{AC} - \Delta \lambda_{DB}

Koersen kunnen bepaald worden met de eerdergenoemde methode.

Oblate sferoïde[bewerken]

De vorm van de Aarde wordt beter benaderd door een oblate sferoïde dan door een bol. Bij de bovenstaande formules wordt ervan uitgegaan dat een boogminuut overeenkomt met een zeemijl van 1852 m. In werkelijkheid is een minuut bij de polen ongeveer 1861 m en bij de evenaar 1843 m. Er zijn diverse referentie-ellipsoïdes in gebruik, afhankelijk van het gebied dat geprojecteerd moet worden. Niet de grootcirkel, maar de geodeet is hier de kortste verbinding tussen twee punten. Berekeningen worden gemaakt aan de hand van de geografische of geodetische breedte φ of de gereduceerde breedte β. Er zijn verschillende methodes om tot een oplossing te komen voor de navigatiegrootheden. Door het Naval Oceanographic Office wordt de Andoyer-Lambert-methode gebruikt die hieronder volgt.

De geodetische breedte wordt omgezet naar de gereduceerde breedte met de formule:

 \tan \beta = \frac{b}{a} \tan \varphi

waarbij a de equatoriale straal is en b de polaire straal van de specifieke ellipsoïde.

Verheid[bewerken]

De azimut van A naar B volgt uit:

 \cos T = \frac{ \sin \Delta \lambda_{AB} }{ \cos \beta_A \cdot \tan \beta_B - \sin \beta_A \cdot \cos \Delta \lambda_{AB} }

De sferische afstand σ volgt uit:

 \cos \sigma = \sin \beta_A \cdot \sin \beta_B + \cos \beta_A \cdot \cos \beta_B \cdot \cos \Delta \lambda_{AB}

Volgen grootcirkel[bewerken]

De grootcirkel in de mercatorkaart (streeplijn) kan benaderd worden met meerdere loxodromen. Bij koordennavigatie (rood) blijft men aan de holle zijde van de grootcirkel, aan de kant van de evenaar. Bij raaklijnennavigatie (blauw) blijft men aan de bolle zijde van de grootcirkel, aan de kant van de pool.

Tijdens het volgen van de grootcirkel verandert de koers voortdurend. In de praktijk wordt de grootcirkel dan ook wel opgedeeld in meerdere loxodromen. Dit kan met behulp van een koordennavigatie of via raaklijnennavigatie.

In een gnomonische kaart is de grootcirkel een rechte lijn. In deze kaart kunnen snijpunten van de grootcirkel met parallellen en meridianen bepaald worden die vervolgens kunnen worden overgezet in mercatorkaarten. Door deze punten kan een kromme getrokken worden die de grootcirkel benadert. Daarbij is de bolle zijde naar de pool van het betrokken halfrond gericht. De snijpunten kunnen ook worden berekend met de hierboven gegeven formules.

Koordennavigatie[bewerken]

Het opdelen van de grootcirkel kan door in een mercatorkaart vanuit het vertrekpunt van een bepaalde afstand het snijpunt te bepalen met de grootcirkel. Tussen deze twee punten kan een koorde getrokken worden, een loxodroom. Dit kan herhaald worden tot de bestemming bereikt is. Hierbij blijft men aan de holle zijde van de grootcirkel.

Raaklijnennavigatie[bewerken]

Het opdelen kan ook door telkens koersveranderingen van bijvoorbeeld een graad te maken. De koers van afvaart wordt dan gevolgd tot deze een graad verschilt van de koers van afvaart van de positie waar men zich dan bevindt. Er wordt dan een raaklijn aan een nieuwe grootcirkel gevolgd tot er opnieuw een koersverschil van een graad is bereikt. Hierbij blijft men aan de bolle zijde van de grootcirkel.

Literatuur[bewerken]

  • Draaisma, Y; Meester, J.J.; Mulders, J.H.; Spaans, J.A. (1986): Leerboek navigatie, deel 1, De Boer Maritiem,
  • (1987): Admiralty Manual of Navigation, Volume 1. General Navigation, Coastal Navigation and Pilotage, The Stationery Office.